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寻找勾股数组的历程

2015-06-10赵国瑞

初中生之友·中旬刊 2015年4期
关键词:数组毕达哥拉斯表达式

赵国瑞

勾股定理反映了各数之间存在着的一种关系——x2+y2=z2,历史上称它为勾股方程。古人很早就知道32+42=52,即3,4,5满足这个方程。后来陆续发现的还有5,12,13;7,24,25;8,15,17;9,40,41,……这些三个一组满足勾股方程的数就称为“勾股数组”。

古代很多数学家都曾提出过勾股数组的计算公式。

上述的每种表达式都可以写出无数组勾股数,但都不能写出所有的勾股数组。例如,不能写出(8,15,17)这组勾股数,因为在毕达哥拉斯的表达式所得的勾股数中,总有两个相邻的数(b,c相邻),而在柏拉图的表达式中,总有两个数的差等于2(c-b=2)。

这是大家熟悉且常用的表达式,利用丢番图的表达式所得的勾股数组,仍然不能算出所有的勾股数组,例如“9,12,15”这组勾股数就不包含在其中。

值得骄傲的是,欧几里得的勾股数组表达式并不比丢番图的勾股数组表达式逊色。因为只要在欧几里得的勾股数组表达式中,令p=2m2,q=2n2就得到丢番图的勾股数组表达式。但是在欧几里得的勾股数组表达式中,令p=27,q=3,所得的一组勾股数组(9,12,15)是不可能从丢番图的勾股数组表达式中直接获得的,从这一点上说,欧几里得的勾股数组表达式要比丢番图的勾股数组表达式优越。

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