导数与函数的零点易错题剖析
2022-05-23田吉龙
中学生数理化·高三版 2022年5期
田吉龙
高考中函数的零点主要考查零点所在区间—零点存在性定理,数形结合解决根的个数问题或求参数的值。其中常用到函数的零点,方程思想,与图像交点的转化等知识。下面就函数的零点问题总结同学们的失分情况,为同学们的复习備考提供帮助。
题型一、判断零点个数
例1
解析:
易错点分析:(1)函数的零点是一个实数,且必须在定义域内;(2)画函数图像时要注意最大值或者最小值,图像是否与x轴有交点等特殊情况。
例2
解析:
易错点分析:先对函数求导,根据导数的方法求出函数的单调区间与极值,根据函数的基本性质作出图像,然后将问题转化为函数图像与x轴的交点问题,突出导数的工具作用,体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用。由f(x)=0分离变量得出a=g(x),将问题等价转化为直线y=a与函数y=g(x)的图像的交点问题。在判断零点个数时要注意单调性与函数零点之间的联系,单调函数在区间内至多有一个零点。
题型二、函数零点偏移问题
例3 已知函数f(x)=/—21nx(aER,a≠0)。
(1)求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)有两个零点x1,x2(x14。
解析:
易错点分析:(1)极值是函数在极值点处的函数值,注意与极值点的区分;(2)利用分析法证明零点偏移问题。如本题中,由x1,x2为函数f(x)的零点,可得0