庞宇中

在深度学习的引领下，从单元整体结构把握内容的联系，显示数学教学本应具有的研究价值，真正引发学生自主、有方向、有价值地完成学习任务，不仅符合数学学科特征，也对学生数学学习兴趣、核心素养的提升大有裨益。所谓深度学习，就是指在教师引领下，学生围绕具有挑战性的学习主题，全身心积极参与、体验成功、获得发展的有意义的学习过程。在这个过程中，学生能掌握学科核心知识，理解学习过程，把握学科的本质及思想方法，形成积极的内在学习动机、高级的社会性情感、积极的态度、正确的价值观，成为既具独立性、批判性、创造性，又有合作精神、基础扎实的优秀的学习者，成为未来社会历史实践的主人，这是教育部对深度学习的定义。

深度学习不是教学模式，而是教学思想、教学理念。它要求显示出教学本来该有的样子，能引发学生主动学习，当然这不等同于学生的自学，深度学习的前提是有教师引领，这其中教学必然是存在的，学习内容是有挑战性的学习单元，这个过程中每个学生都能沉浸在学习中，人人都能有所收获，深度学习的任务是提高能力，形成优良品格，就数学而言当然包括核心素养的提升。如何让教学有深度、有价值，关键在于对课例的整体把握。所以有意义的教学活动，在建立联系的基础上，要形成结构;通过问题引领，体验交流与顿悟，让学习真正发生;利用单元整体教学，发现深度学习点。笔者即以浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册——“三角形的初步认识”为例，谈谈自身的教学主张。

一、单元整体构建

在整体架构的过程中，对研究对象来说，首先需要思考以下几个问题：三角形的知识（内容）是按照怎样的逻辑展开教学的？理解什么叫“三角形的初步认识”，初步之后干什么？又应该如何展开教学？浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册——“三角形的初步认识”的单元目录主要包含以下内容：1.1认识三角形，主要研究三角形概念及要素关系，一些简单的性质定理;1.2和1.3是命题证明等语言逻辑，暂且撇开不谈;1.4和1.5是全等三角形的相关内容;1.6是尺规作图，具体是操作层面上的问题。如果以现阶段流行的大概念理念，可以将三角形初步梳理如下：

其中大部分与教材相似，而相似三角形在研究难度上要大于全等三角形，部分学习方法是可以与全等三角形进行类比的，因此将相似三角形内容置后学习，也导致了重心的性质延后。而内心是圆相关的内容，也是需要延后学习的，这也就确定了三角形初步学习的内容。

另外，三角形初步之后的进一步研究该如何进行，思考这个问题，对整体把握、深度学习有着非常关键的作用，也是形成联系架构的规划方向。可以从以下三个方面进一步研究，第一，是研究维度加深，例如研究完中线的性质，很容易引导学生去联想三角形有几条中线，三条中线可能产生何种特殊的位置关系或者数量关系，三条中线的交点又会和中线本身，和三角形的其他要素产生何种关系。以此类推，三条角平分线、三条高线等，持续深入地挖掘要素之间的关系;第二，将要素或者图形特殊化进行研究，也就是所谓的特例的研究，比如等腰三角形、等边三角形等，在要素特殊化的过程中，要素关系也会产生相应变化，使研究成果更加丰富;第三，关联性的复杂化，也就是从联系上入手，从全等的等量关系到相似的比例关系，可以看作一种复杂化，但也因此大大增加了研究的辐射面，使涵盖面更加广泛。

理解清楚前后关联与知识定位，更有助于教师进行单元整体构建，让每一个部分都变成有意图、有逻辑体系、有育人价值的重要环节。

二、逻辑主线生成

在单元整体架构下，不难发现，三角形初步的整个基调是先研究一个三角形，再研究两个三角形之间的关系。三角形作为第一个学习的封闭直线型，奠定了后续几何学习的导向，依照概念（定义、分类、表示）——性质——联系（结构）的研究方法确定了几何研究的逻辑思路，以要素间的关系为切入点进行性质的探究。比如，在教材中可以以三角形的基本要素，即边与角为例，在通过要素间的关系定义概念后，即可探究角与角之间有内角和为180°的确定的数量关系，边之间有任意两边之和大于第三边的不等关系，角与边之间有大边对大角的对应关系，当然某些更为具体的关系会在后续学习中继续探索。而两个三角形之间的关系依照图形之间的形状、大小、位置等特征进行定义，初步学习中主要研究最特殊的全等关系，而在研究一个三角形后，即可通过对应关系有效传递某些特质，这就是三角形初步学习所要达到的效果，也就是教师需要有序呈现给学生的知识逻辑。这样的认知过程是可复制的，对后续特殊三角形或四边形等其他几何图形的学习是具有提供类比模板的效果的，这也是对深度学习的一个重要导向。而知识逻辑生成的前提是必须符合学生的认知逻辑，比如学生更习惯从单一静态图形到多样的组合图形，或者动态图形;从简单的问题上升到复杂问题;从一般到特殊（有时也会从特例先入手）等，在符合学生认知逻辑的基础上的整体架构才更能实现其价值，与知识逻辑交相辉映，实现事半功倍的效果。

三、具体内容设计

整体架构与逻辑主线的形成是大方向实现的重要导向，但每一个课时环节也都是至关重要的，下面就如何教好某一个知识进行深入研究。笔者以基本要素“三角形的重要线段”为例进行教学设计，重点解决以下问题：“三角形的重要线段”是如何教学的？一条线段的教学，整合起来要达成怎样的教学目的？这个过程到底讲述了怎样的数学“故事”？揭示了三角形怎样的空间结构？在认识和学习几何图形的过程中，给将来学习，研究几何图形以怎样的启示？

（一）内容与内容解析

本节课选自浙教版《义务教育教科书·数学》八年级上册“1.1认识三角形”的第二课时。本章是初中阶段学习的第一个直线型几何图形，也是初中第一个具体深入研究的几何图形。七年级已经学习了几何初步以及相交线、平行线的基本内容，对几何已具备学习基础，针对几何图形的重要组成要素：点、线、角等进行了较为深刻的认识，尤其是它们之间的关系，如大小关系、位置关系等，有助于着手研究具体的几何图形。作为第一个具体学习的几何图形，三角形的学习对后续几何学习有着至关重要的影响。它作为几何学习标志，为几何学习提供了类比与转化对象，形成了几何学习的一般思路，为后续不论要素学习、特殊图形学习，还是其他圖形学习提供了方法与理论基础。三角形三线的学习是在三角形定义与基本性质学习后深入学习的内容，三角形的基本性质主要产生与角、边等基本要素之间的对应关系，如果研究的视野仅仅聚焦于此，难免太过单调，也无法体现三角形反映的空间性质，因此加入外角、高线、中线和角平分线等研究对象，能大大提高对三角形的认知，使三角形的性质变得更加丰富多彩。

对三线的定义，可以仿照三角形的定义，采用“属+种差”的定义方式，实现研究方法的统一，性质的探索依然可以利用三角形性质研究时重点打造要素关系，三线的性质反映了三线参与后与三角形本身的要素之间产生的定性、定量关系，为解决线段相等、角相等、比例相等、面积相等问题提供了新的方法和依据，更反映了大多数空间的基本性质。因此本节课的内容是平行线、三角形等知识的延续和深化，同时也为后续学习奠定了坚实基础。笔者用如下框图阐述了三角形三线的知识结构：在具体研究过程中用到了推理的思想，具体体现在类比、归纳和演绎思想上。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：三角形三线的性质及其应用。

（二）目标与目标解析

本节课的目标定位为：1.理解中线、高线、角平分线的概念;2.探索并发现三角形三線的性质;3.尝试证明三角形三线的部分性质;4.能根据定义或性质进行有关的计算和证明。达成目标1的标志是：学生能用文字语言、符号语言、图形语言描述三线的定义，知道性质的研究是以定义为出发点的。达成目标2的标志是：学生能通过观察、操作、测量、运算等方法发现三角形三线的性质，能用文字语言和符号语言准确表示性质的含义。达成目标3的标志是：学生能利用已知的知识用符合数学逻辑的语言证明部分性质成立。达成目标4的标志是：学生能利用性质进行推理证明，解决相关问题。

（三）教学问题诊断

小学已初步接触过三角形的相关内容，但小学阶段对几何的学习主要停留在实验几何的范畴，进入初中通过几何初步以及平行线的学习，进行了一些推理证明的训练，对论证几何有了一定的认识，但这种训练只是初步的，需要进一步巩固和提高。另外，对三角形三线的性质，基于小学时的经验和几何直观，学生能猜想出一些，但要无序散漫地寻找，还是有序理性地求索，此乃关键。教学中要让学生在以往经验的引导下自主探索，从要素关系入手，在特殊条件的引领下进行思考，发现新的结论，体会其对空间性质的深刻影响。基于以上分析，确定本节课的教学难点：三角形三线性质的探索与证明。

（四）教学过程

环节一：获得对象。在纸片上任意画一个三角形，观察小组内所画三角形是否相同，并说出他们的共同点是什么？（教师将零散的知识块，串联成研究几何图形的一般思路）。设计意图：通过绘制三角形的过程，重现要素关系定义几何图形的方法，回顾三角形的定义，通过交流共同点回顾三角形的性质与分类，熟悉通过要素关系研究定理的过程，形成研究几何图形的一般思路。画一条线段把所画的三角形分成两个三角形。问题一：相互观察，所画线段是否一样？问题二：这样的线段可以画几条？问题三：这些线段有什么共同特点？问题四：随着点P的改变，被分成的两个三角形是否发生了变化？问题五：在变化过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化？设计意图：中线、高线、角平分线一定不是凭空出现的，三线之间也必然会有内在联系，在整体设计、深入理解的前提下，给出引领三线的重要线段，将视角从基本要素边上转移到顶点与对边一点的连线段上，为之后三线的生成提供母体。通过问题串的设计，引导学生去确定研究对象，思考变化中的不变量，经历性质的产生过程，例如三角形的面积之比等于底边之比等，为后续的性质发现提供了方法指导。

小组讨论，当点P运动到哪些特殊位置时，可以得到更为特殊的线段AP。设计意图：秉承从一般到特殊的理念，引导学生从不等到相等，从一般的角到特殊角，从变化过程中的最长或最短、最大或最小等角度，进行要素的特殊化处理，在如此系统的操作过程的引领下，中线、高线、角平分线的产生不仅自然，而且统一。给出中线、高线、角平分线的定义。设计意图：定义的给出以要素关系为出发点，由此可将三线的定义整合，中线是顶点到对边中点的连线;高线则可看作过顶点作对边的垂线所产生的垂足与此顶点的连线;同样的，三角形的角平分线则是角的角平分线与对边的交点与该角顶点的连线，如此定义也可帮助学生理解相应线段出现的位置差异，如三角形的形外高，同时进一步明确三角形的三线是从顶点出发的三条线段，也与后续如中垂线、中位线等概念进行有效区分。

环节二：探索性质。接下去分别就三条特殊的线段进行性质探索。以高线为例：问题一：若AP为高线，此时被分成的两个三角形变成何种三角形？问题二：这些三角形的边、角较一般情况会产生何种新的特征？问题三：对高线你还有其他能想到的吗？问题四：除了以上的定性关系，从定量上来看高线还有别的特点吗？设计意图：探索要素关系是研究性质的基本方法，在前面的活动中让学生聚焦于被分割的两个三角形以及它们的要素。在高线的特殊条件加入后，引导学生观察要素经过条件感染后产生的明显变化，学会从边、角等方面有序罗列，从而发现如直角三角形、锐角三角形之间的互余关系，边之间的定量关系等。随后的追问将问题引到更加深沉的地步，比如高线是顶点与对边交点连线中最短的，引出其重要的度量属性，而谈到面积又会产生化斜为正的重要思想，这样的发现过程学生必然是沉浸其中的。

以中线为例：问题一：若AP为中线，此时被分成的两个三角形有何特征？问题二：这些三角形的边、角、周长、面积之间较一般情况会产生何种新的特征？问题三：对中线你还有其他能想到的吗？设计意图：三线性质的探索过程是可以相互借鉴的，当然除了联系之外，也需要体会三者之间存在的差异，相较于高线分成的两个直角三角形，中线所分的三角形不是特殊三角形，而需要通过中线带来的直观的线段相等入手，引导学生从一般情况发现的结论入手，得出并证明三角形之间面积相等的重要结论，自然的，周长之间的关系也是容易一并生成的，后续的追问能让学生体会类似中线所产生的结构对旋转对称的重要作用。

以角平分线为例：问题一：若AP为角平分线，此时被分成的两个三角形之间会产生何种联系？问题二：除了角度相等以外，边之间是否也存在特殊的关系呢？问题三：除了研究数本身以外，还可以从它们的和、差、积、商去研究他们的数量关系（展示和差积商，总结规律）。设计意图：角平分线对三角形的影响是重要，但是生涩的，许多的性质定理需要通过后面的知识方可证明，但对定理的发现，可以为学生提供思想方法与技术支持，在几何画板展示变化过程中的不变量，更容易让学生发现角平分线对边之间比例关系的影响，提高学生的探索欲望，也坚定其尝试证明的决心，真正实现深度学习。

环节三：应用新知

1.在△ABC 中，D是BC边上的一点，若S△ABD=S△ADC，则AD是△ABC的（     ）。

A.高线    B.中线    C.角平分线    D.垂直平分线

2.如图，ΔABC中，∠ABC=50°，∠ACB=70°，AD平分线∠BAC。过点D作DE⊥AB于点E，则∠ADE的度数是（      ）。

A.45°            B.50°            C.55°            D.60°

3.已知△ABC中，AC=5cm，中线AD把△ABC分成两个小三角形，且△ABD的周长比△ADC的周长大2cm，你能求出AB的长吗？设计意图：通过性质的应用及时巩固性质，让发现的性质成功着陆，进一步体会三角形三线对三角形的特殊作用。

环节四：梳理小结。问题一：研究对象（三角形的三线）是如何获得的？问题二：我们是如何研究三线性质的？问题三：三线的性质有哪些应用之处，在应用时需要注意哪些要点？问题四：你还可以从哪些角度进一步研究三线的性质？设计意图：小结的过程往往就是方法总结的过程，也是我们进行练习和架构的重要环节，回顾整个研究思路，能进一步巩固研究几何的一般套路，在整體统一的认识与学习后进一步体会三角形章节的整体框架，真正做到心中有底，又不失热情。随后的追问为学生提供了新的研究线索，可以从一条到三条之间的联系，可以着手于特殊三角形的三线等方面，让学生学习的热情不会随着课时结束而终止。

（五）教学反思

深度学习的内涵远不止于此，除了课内要教给学生的内容以外，教师仍需不断强化学生对数学学习的热情、素养等许多方面，激发其自主探索的动力，潜移默化中使之领会数学的魅力。比如，三角形三线的学习中，希望学生能从中线：面积相等;角平分线：边的“对称”比例关系;高线：距离（最短通路）等方面，体会到研究对象的根本属性：对象具有对称性，对象构成距离空间，对象的度量特征。这恰恰反映了空间的本质，后续的研究将永远围绕三件事展开，在点滴中或许就形成了学生对几何研究的整体性了。

四、几点思考感悟

数学知识不是零散的、碎片式、杂乱无章的信息，而是有逻辑、有体系、有结构的知识，基于深度学习的课堂教学，要充分考虑学生已有的认知经验，统观整体的知识架构，在教师的引导下，根据当前的学习活动区联想、调动、激活以往学习的经验开展当下的学习。整体观念的视角下，三角形三线的学习理应是一气呵成的，不是独立分散的，所以教师不能局限于教材中简单的性质，如今这种大胆的尝试使获得的性质更具有整体性，能更完整地反映空间本质，符合学生的认知规律。性质发现的过程是学生自主交流、思维碰撞的过程，实现了从直观到演绎推理的过程，有助于增强学生的逻辑推理能力和语言表达能力，提高学习兴趣，沉浸于环环相扣的问题解决中，进一步提高学生分析问题和解决问题的能力。

（宋行军）