⦿ 甘肃省武威市第七中学 吕晖生

1 引言

二次函数与几何综合类试题一直是近年来各地中考的热点、重点和压轴题型.这类试题以考查二次函数的性质为背景，同时侧重于考查探究运动中的几何图形的特殊性.解答这类题型，既要求学生能够熟练掌握二次函数的基础知识包括二次函数的表达式，会用待定系数法求函数表达式，会用配方法确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点；又要会运用几何图形的性质及其证明.涉及到特殊角、线段的相等平行、等腰三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、等腰梯形、直角梯形、三角形全等、相似，以及面积的最值等知识点[1]，所以难度较大.下面我们通过典型例题来了解和掌握一些常用的解题思路与技巧.

2 解题策略

(1)求A，B两点的坐标；

(2)求抛物线的解析式及点C的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于四边形ACMB的面积的2倍.若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由.

解：(1)因为x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-7=0的两个根，所以x1+x2=2(m-1)，x1x2=m2-7.

(x1+x2)2-2x1x2=10.

则[2(m-1)]2-2(m2-7)=10，即m2-4m+4=0，解得m1=m2=2.

把m=2代入x2-2(m-1)x+m2-7=0， 得x2-2x-3=0， 解得x1=-1，x2=3.

所以点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0).

(2)抛物线与x轴的交点为A(-1，0)，B(3，0).由对称性可知：顶点M的横坐标为1，则顶点M的坐标为(1，-4).

所以抛物线的解析式为y=x2-2x-3.

在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3.

所以点C的坐标为(0，-3).

(3)如图1，设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AO=OD=1，DB=2，OC=3,DM=4，AB=4.

图1

所以

S四边形ACMB=S△ACO+S梯形OCMD+S△DMB

=9.

设P(x0,y0)为抛物线上一点，则

因为Δ=(-2)2-4×1×6=-20<0.所以此方程无实数根.

思路分析：交点是在两条线相交的情况下产生的，在直角坐标系中，可以用解析式描述一些线，因此，二次函数中……