崔洪雷，许立波，黄茹，庞超逸

（1.浙大宁波理工学院商学院，浙江 宁波 315000；2.浙大宁波理工学院计算机与数据工程学院，浙江 宁波 315000；3.杭州电子科技大学理学院，浙江 杭州 310018）

多属性决策是决策者在内含多类型属性值的备选方案中选择最满意方案的过程。决策主体认知、思维的局限性及模糊性，决策客体属性的多样化及复杂性，令决策者很难做选择。针对这一问题，ZADEH［1］于1965 年提出模糊集概念，开辟了不确定信息描述的新途径。此后，学者们不断拓展，提出了直觉模糊、区间模糊、三角模糊、II 型模糊、犹豫模糊、区间直觉模糊、直觉三角模糊等概念［2-8］。其中，犹豫模糊可用多值集合表述决策者的不确定思维，通过对决策赋值，增加了灵活性，成为模糊集理论及应用发展的一个重要研究方向。文献［9-11］研究了犹豫模糊集成算子、距离、相似度等问题，为犹豫模糊集计算奠定了理论基础。文献［12-15］对语言犹豫模糊集、区间语言犹豫模糊集、对偶犹豫模糊集、犹豫三角模糊集等做了拓展性理论研究。

针对犹豫模糊信息环境下的多属性决策问题，通常采用 TOPSIS 法［16-17］、VIKOR 法［18-19］、LINMAP 法［20］、投影法及正交投影法［21］等多属性决策方法，从逼近理想解的角度，确定备选方案的优劣顺序。其中，投影法［22］和正交投影法［23］因简单直观、计算合理备受青睐，被广泛应用于军事训练［24-25］、利益分配［26-27］、网站及人员评价［28-29］、企业管理结构复杂度和发展评价［30-31］、医疗数据和废弃物管理［32-33］等实践领域。正交投影法弥补了TOPSIS 法逆序排列的缺点，但由于其原理是比较备选方案与正理想解形成的向量在正负理想解向量上的投影长度，因此存在多个备选方案投影点一致的问题。基于此，文献［34-35］提出了双向投影法，即在正交投影法的基础上补充考虑负理想解在备选方案与正理想解向量上的投影点，其核心是通过增加一个投影长度达到便于比较的目的。文献［36］针对区间直觉模糊信息，构建了双向投影的最大化非线性目标规划模型。文献［37］采用双向投影法，解决了区间犹豫模糊信息环境下的供需匹配、资源匹配等双边匹配决策问题。文献［38］在属性值为三角犹豫模糊数的多目标决策中，引入了双向投影法。文献［39］拓展了双向投影法模型，并将其用于处理带有弱化程度修饰的模糊语言集（LTWHs）信息。文献［36-39］是双向投影法的改进与应用，其贡献在于缓解决策信息特征丢失、提升决策质量等，所用算法的基本原理与文献［34-35］相同，通过充分考虑每个备选方案与正、负理想解之间的关系，弥补了正交投影法仅考虑其与正理想解之间关系所导致的模型缺陷。

综上所述，投影法是一种较完善合理的决策方法，在决策领域应用广泛，但仍存在以下问题：

第一，设计思路主要是计算投影长度，本质是比较距离。投影法便于分离模与夹角［31-32，40］，既可以考虑备选方案方向，又顾及贴近度。现有投影法通常只比较投影长度，投影夹角余弦值仅用于计算投影长度。

第二，正交投影法和双向投影法模型均缺少对决策主体风险抉择的心理描述。2 种方法均通过对备选方案属性值补长区分决策者风险偏好。而补长操作，在所有集合长度相等时，无法对决策者主观心理进行差异化描述；另外，无论添加的元素是原始数据中的最大值、最小值还是平均值，均只能在集合已有元素基础上添加，添加元素的数值和个数不具变通性。因此，上述2 种模型在刻画决策者需求时均较为粗糙，当备选方案间差异较小时，可能出现排序结果与决策者实际风险偏好误差较大的情况。

基于以上观点，本文提出一种可灵活描述决策者风险规避心理的余弦优化投影法。在考虑投影长度的基础上，用投影夹角表示决策者面对风险时的心理倾向，以“同等条件下，保守型决策者更倾向于选择夹角小、贴近正负理想解向量的备选方案”作为评价规则，对方案进行排序。同时，设置态度参数，通过赋值达到强化或弱化决策主体风险规避心理的目的，令排序结果更准确、稳定，模型决策有用性得到提升。

1 投影法相关算法

1.1 正交投影法

正交投影法是利用投影原理，通过计算并比较各备选方案中正交投影点与正理想点的距离，判断方案优劣的多属性决策方法。

图1 备选方案H1与H2在正交投影法下的比较Fig.1 Comparison of alternative H1 and H2 under vertical projection

1.2 双向投影法

双向投影法的核心是，计算2 个投影长度，利用TOPSIS 思想比较贴近度，判断方案优劣。对于在正交投影法下无法排序的方案H1与H2，可采用双向投影法，计算过程如下：

（1）计算投影长度1

图2 备选方案H1与H2在正交投影法下的投影点一致Fig.2 Alternative H1 agrees with H2 projection point under vertical projection

经计算，可得排序，结果为H1≻H2。

双向投影法较好地解决了正交投影点一致情况下方案不可排序的问题。但其模型与正交投影法相同，对决策者风险偏好的描述也是通过对较短集合进行元素添加实现，因添加元素的内容受限，模型在描述决策者心理倾向上有一定局限性。

2 余弦优化投影法

正交投影法和双向投影法无法有效刻画决策者的风险态度，当多方案的综合属性值非常接近时，可能出现排序结果与决策者心理预期偏差较大的情况。比如，一家企业的经营管理层依据专家评价对投资项目H1、H2进行选择。专家们对项目H1的评价为（50，70），表示项目H1的收益率最低为50%，最高为70%；而对项目H2的评价为（-20，140），即项目H2虽然存在高收益（140%）的概率，但有可能亏损（-20%）。按平均法，两项目的综合属性值均为60%。通常认为，保守型决策者倾向选择H1，放弃可能出现亏损的、具有较高风险的H2。又如，如果对H1和H2的评价分别为（50，70）和（10，120），H1的综合属性值为60%，H2的综合属性值为65%。虽然H2有微小优势，但保守型决策者仍有极大可能选择H1。通常，考虑投资稳健性，投资者会放弃最优解与最差解之间波动幅度较大的项目H2。

综上所述，在实际评价与决策工作中，通常需要考虑决策者的主观需求，而正交投影法与双向投影法因其模型只能以元素补长这一常规化方法刻画决策者的风险态度，无法根据决策者心理偏好进行灵活描述和主观调整，所以很难从本质上反映不同类型决策者的风险认知。本文对正交投影模型进行了改进，将投影长度和投影夹角相融合，构建了可进行双渠道比较的决策模型，设计思路如下：

（2）设置风险态度参数α，提升模型对决策主体风险偏好描述的细腻程度。α越大，表示越强调决策者的保守偏好，反之则越弱化。

对于正交投影点相同的方案H1与H2，如果强调决策者风险规避心理，可利用余弦优化投影模型，选择投影夹角更小的方案H2。如图4 所示，β2＜β1，因此排序结果应为H2≻H1，这与图3 所示的双向投影法下的排序H1≻H2不一致。若在计算过程中强调决策者的保守偏好，则可赋予风险态度参数α以较大值，令2 个方案的综合属性值差距增大，方便判断其优劣。

图3 备选方案H1与H2在双向投影法下的比较Fig.3 Comparison of alternative H1 and H2 under bidirectional projection

图4 备选方案H1与H2在余弦优化投影法下的比较Fig.4 Comparison of alternative H1 and H2 under cosine optimal projection

图5 灰靶理论下备选方案H1、H2与球面正负靶心的距离Fig.5 The distance between the alternative H1 and H2 and the spherical positive or negative target center under gray target theory

3 犹豫模糊信息环境下的余弦优化投影算法

3.1 犹豫模糊集

定义1［9-10］设X为非空集合，则称从X到［0，1］的子集函数为犹豫模糊集，记为

3.2 问题描述

3.3 余弦优化投影法的计算步骤及排序方法

步骤1 对犹豫模糊决策矩阵进行规范化处理。

先对犹豫模糊集合中的所有元素进行增序排列，再对集合长度及指标评价规则进行规范化处理。

（1）统一犹豫模糊集长度

其中，lij和li'j分别为2 个犹豫模糊集的元素数，即犹豫模糊集的长度。一般情况下，Rij与Ri'j中所含元素数并不相等，需对较短的犹豫模糊集进行补长操作，使Rij与Ri'j等长，即lij=li'j=l。通过添加最大值、最小值或均值，分别形成激进型、保守型或适中型决策矩阵，用于后续计算和排序。

（2）统一指标评价规则

步骤6 计算备选方案的综合属性值并排序。

设方案Hi的综合属性值为Ci，则其在余弦优化投影法下的Ci为

图6 显示了当态度参数α分别取0，0.3，0.6 和1时，投影夹角对方案综合属性值Ci的影响。投影夹角越小，Ci越大；当投影夹角相同时，α越大，Ci越小，α可描述不同投影夹角下决策者的保守心理差异。

图6 态度参数α 函数Fig.6 Attitude parametric α function

基于以下考虑，设0 ≤α≤1。

（1）在模型中，可将决策者的保守心理视作从0～100%的调节过程。当α=0 时，无需强调决策者的保守心理，或决策者是完全不保守型决策主体，因此，余弦优化投影法的方案排序结果与正交投影法相同。当α=1 时，最大化强调决策者保守心理，或决策者是完全保守型决策主体。在实际应用中，决策者可按照自身对风险规避的需求，通过对α赋值，从0～100%选择保守程度，调节投影夹角在模型中的贡献度，得到符合自身保守程度要求的排序。

几何光学原理认为高频电磁波的能量沿射线传播，因此用射线追踪的方法就可以求解电场。基于口径场法计算抛物反射面天线远场时，先通过射线跟踪获得天线口径面上的切向电场，然后对口径面电场进行积分而得到天线的辐射场[13-16]。偏置抛物面的结构如图7所示。

（2）若扩大α的范围，则可能出现因极端值导致决策排序完全失真的情况。若在［0，1］的基础上扩大α所属区间的上下限，如调整为-1 ≤α≤2。当投影夹角为89°时，若α=-1，则(cos 89°)-1≈0.017 45-1≈57.31；若α=2，则(cos 89°)2≈0.017 452≈0.003 045。极端值对方案综合属性值影响极大，由于强调投影夹角，使备选方案综合属性值发生过度扭曲，最终导致排序完全失效。

3.4 余弦优化投影法的优缺点分析

余弦优化投影法的核心在于，基于决策者风险偏好，用投影长度和投影夹角衡量各备选方案综合属性值，解决犹豫模糊集合信息环境下的多属性决策问题。具有以下优点：

（1）与其他投影法相比，余弦优化投影法对决策者风险规避心理刻画得更细腻，变通性更强。在正交投影法基础上，叠加投影夹角余弦值和态度参数，分别描述保守型决策者心理及其变化，克服了现有投影法模型缺乏对决策者心理区分的局限性，提升了投影法在实际决策应用中的普适性与灵活性。

（2）有利于寻找决策者保守心理下的稳健排序。可比较保守型、激进型和适中型3 种决策矩阵在不同态度参数下的计算结果，并从中选取稳健性最好的排序结果。能获取较其他投影方法风险规避能力更强的决策结果，更好地回应保守型决策者的实际需求。

（3）通过投影长度和投影夹角双因素确定方案排序，对方案间的微小差异更敏感，区分度更高。不但可以解决正交投影法投影点一致导致的不可排序问题，而且较双向投影法运算更简单，更便于解释。

余弦优化投影法虽然在保守型决策者中具有一定优势，但仍有待改进。在犹豫模糊集信息环境下，投影夹角小，备选方案的综合属性值波动幅度小，稳健性好。但在其他信息环境下，如何正确使用投影夹角，如何在具有肯定、犹豫、否定三元素的数据集中表现出稳健性，如何在具有评价与概率双元素的概率模糊数据集中表现出稳健性并进行合理整合等，均需进一步探讨。

4 算例分析

4.1 不同投影法比较

设某多属性决策问题形成的犹豫模糊集方案为H1、H2、H3、H4，每个方案包含K1、K2两个指标。为清楚地分析属性值特征与排序结果之间的关系，本算例不设权重。表1 为采用正交投影法、双向投影法及余弦优化投影法计算得到的综合属性值及排序结果，其中K1、K2为规范化后的决策矩阵。

表1 正交投影法、双向投影法与余弦优化投影法的综合属性值CiTable1 The Ci under vertical projection，bi-directional projection and cosine optimal projection

由表1 可知，在正交投影法中，方案H1与H3的综合属性值一致，均为0.115 0，无法排序。在双向投影法中，方案H1、H3的综合属性值分别为0.209 6，0.194 1，排序结果为H1≻H3。在余弦优化投影法中，当α=1 时，方案H1、H3的综合属性值分别为0.018 2，0.029 6，排序结果为H3≻H1，与双向投影法的排序结果不一致。这主要是由于余弦优化投影法强调了决策者的保守心理，观察指标K1、K2，可知方案H3中，K1，K22 个数值之间差异均更小，波动更小。因此，当决策者对风险容忍度较小，倾向于规避风险的稳健决策时，H3≻H1的结论显然更合理。

4.2 城市信用评价算例

国务院印发的《社会信用体系建设规划纲要（2014—2020 年）》，确定了我国社会信用体系建设的功能定位，将其与“加强与创新社会治理”目标紧密结合。以城市为单位，建设并完善社会信用体系已成为我国构建有效治理体系，提升治理能力现代化的重要手段之一。因此，对城市信用进行评估具有重要的理论及实践意义。选取A、B、C 3 个重点城市，由专家从守信激励、失信治理、信用服务、信用创新和信用环境5 个维度分别对K1～K55 个指标进行信用评价。其中，K1、K2、K3、K4为效益型指标，K5为成本型指标，见表2。

表2 城市信用评价维度及指标Table 2 Urban credit evaluation dimensions and indicators

3 个城市的信用评价信息均可形成犹豫模糊集。如对城市C 诚信传播程度的评价集为｛0.2，0.3，0.4，0.6｝，表示对城市C，K1指标的评价存在4种看法，评分依次为0.2，0.3，0.4 和0.6。表3 为3个城市信用评价增序排列后的原始数据。

表3 3 个城市信用评价增序排列后的原始数据Table 3 List of raw data after increasing order of credit evaluation in three cities

首先，对犹豫模糊集进行补长处理，使犹豫模糊集等长，分别获得保守型决策矩阵（表4）、激进型决策矩阵（表5）及适中型决策矩阵（表6），以分析模型的稳健性。

表4 保守型决策矩阵Table 4 Conservative decision matrix

表5 激进型决策矩阵Table 5 Radical decision matrix

表6 适中型决策矩阵Table 6 Moderate decision matrix

其次，以保守型决策矩阵为例，给出其排序结果。先对决策矩阵中的指标进行规范化处理，得到规范化后的保守型决策矩阵，如表7 所示。再通过计算获得客观权重向量W＝（0.198 1，0.199 4，0.205 0，0.205 0，0.192 6）。根据现阶段对城市社会信用体系建设的要求，按照失信治理＞守信激励=信用创新＞信用环境＞信用服务的顺序，给出各维度主观修正系数c=（0.25，0.30，0.05，0.25，0.15）。由式（3），可得W′ ＝（0.247 9，0.299 6，0.051 3，0.256 5，0.144 6）。由式（4）～式（10），计算当α分别取0，0.5，1 时，A、B、C 3 个城市的综合属性值，得到排序结果，如表8 所示。

表8 保守型决策矩阵排序结果Table 8 Ranking of conservative decision matrix

最后，采用相同的方法，计算激进型决策矩阵和适中型决策矩阵的综合属性值并进行排序，结果见表9 和表10。

表9 激进型决策矩阵排序结果Table 9 Ranking of radical decision matrix

表10 适中型决策矩阵排序结果Table 10 Ranking of moderate decision matrix

由表8 可知，对于保守型决策矩阵，当α=0.5 和1 时，余弦优化投影法得到的城市A、B 排序与其他2种方法存在差异。正交投影法得到的城市A、B 的综合属性值差距非常小（0.105 4-0.103 8=0.001 7）。观察表3 中数据发现，城市A 多项指标的数值差距较城市B 小，分布更均匀，说明对城市A 的评价统一度更高、争议更小。对保守型决策者来说，A≻B 的排序显然更合理。同时，α取值越大，越强调决策者的保守心理，采用余弦优化投影法，城市A、B 的综合属性值差距越大。如当α=1 时，城市A、B 的综合属性值差距（0.079 1-0.070 5=0.008 6）大于当α=0.5 时两城市的综合属性值差距（0.087 5-0.083 3=0.004 2）。说明模型中增加的投影夹角余弦值及态度参数有助于提升投影法对备选方案的区分度。

由表9 和表10 知，采用正交投影法，城市A、B的激进型决策矩阵（0.155 1-0.068 7=0.086 3）综合属性值与适中型决策矩阵（0.100 6-0.073 6=0.027 0）综合属性值差距较大。此时，无论α是否变化，余弦优化投影法得到的城市A、B 的排序始终与其他2 种方法的排序一致，说明本方法合理可靠。

5 结 论

相较于正交投影法及双向投影法，本文提出的余弦优化投影法利用投影夹角和态度参数灵活描述决策者的风险偏好，计算简单且区分度高，模型具有合理性及稳定性。当采用正交投影法所得的各备选方案的结果一致或非常接近时，若强调决策者保守心理（α＞0），余弦优化投影法与双向投影法的排序结果可能不同，这时需要决策者根据自身风险偏好做出决策。因此，在需要考虑决策者风险偏好的实际决策应用中，可采用以下标准进行方案排序：若在不同态度参数α下所有类型决策矩阵的排序结果均一致，则排序结果的不确定性最小，结论可靠；若不同决策矩阵的排序结果不一致，则保守型决策者可选择强调投影夹角的排序结果，因其在同等条件下，综合属性值波动幅度较小、相对稳健，具有一定的风险规避作用。

本文提出的余弦优化投影法是在犹豫模糊信息下对投影法的有益扩展，可用于考虑决策者风险偏好的实际决策问题。