张钰倩，张太雷，侯雯珊，宋学力

（长安大学理学院，陕西 西安 710064）

传染病严重威胁人类的生命健康，给人类带来了重大灾难。1347—1352 年鼠疫在欧洲流行，致使2 500 多万人死于非命，死亡人数为当时欧洲人口的近1/3［1］。1988—2020 年，全球至少出现了30 种突发性传染病，如2003 年的SARS、2009 年的甲型H1N1、2013 年的H7N9、2014 年的登革热和埃博拉病毒（Ebola virus）、2019 年的COVID-19。截至2022 年1 月19 日，全球220 多个国家和地区累计因COVID-19 死亡超过550 万，并仍在持续扩散。可见对传染病的防控一直是卫生防疫部门关注的重点之一。

研究发现，影响疾病传播的因素很多，如环境卫生状况、人口密度、媒体报道、疫苗接种、人口迁移、气候变化等。在信息化时代，大众媒体与传染病的传播和控制之间存在复杂而密切的关系。每当一种疾病暴发时，有关这种疾病的病例数和死亡人数等信息通过大众媒体、电视、报纸、网络等方式告知公众。据观察，这些信息会令个人行为发生变化，引导人们通过采取各种措施，如戴口罩、使用消毒液、保持社交距离等保护自己，从而减少传染病的传播和蔓延。近年来，学者们从不同角度建立了具有媒体报道的传染病模型［2-6］，其中，最基本的具有媒体报道的SIR 模型为

其中，f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-α1E-α2I-α3H为媒体函数，将其嵌入接触传播率或发生率。CUI 等［7］取f(S(t)，I(t)，M(t))=βe-mI，LI 等［8］取f(S(t)，I(t)，M(t))=β1-β2f(I)，LIU 等［9］认为媒体函数不仅取决于感染人数，也取决于其变化率［10-12］。这些模型均间接地通过媒体报道量反映个体行为改变对传染病的影响。YAN 等［13］主要用统计模型方法，直观刻画了媒体报道对个体行为的影响，并将其与传染病动力学模型耦合。随后根据COVID-19 的特点建立了SEIR 类型的传染病模型［14］，用戴口罩比例函数e-kp(t)作为媒体函数嵌入感染强度，以刻画个体行为改变对COVID-19 疫情的影响。考虑媒体报道量随疫情和时间不断变化，因此将其视为变量，使得到的数学模型与现实情形更接近。近年来，研究者发现媒体报道存在时间滞后现象，因此将时滞引入具有媒体报道的传染病动力学模型，研究结果不仅呈现了更加复杂的动力学现象，而且扩展了时滞微分方程的应用范围［15-17］。

随着媒体的持续报道，公众及政府对传染病的发病周期和传染率等越来越重视。当传染病暴发时，国家卫健委迅速预判并采取严格的管控措施，对患病群体进行隔离，以控制传染源，防止传染病蔓延扩散。通过限制患病群体的活动范围，避免病毒通过患者的分泌物、排泄物、污染物及周围环境中的病原体等媒介传染给正常群体。历史上隔离措施已被广泛用于鼠疫、霍乱、麻疹、破伤风、狂犬病等人类传染病和猪瘟等动物传染病的控制，近年也用于手足口病、SARS、禽流感等疾病的控制［18-21］，特别是此次新冠肺炎疫情暴发，隔离措施得以进一步完善，政府及时采取了精准的追踪隔离措施，有效控制了传染病的传播［22-25］。上述研究表明，对大多数传染病而言，追踪隔离是不可忽略的一项因素。

1 模型建立

将某一区域t时刻的总人口数N(t)分成易感者S(t)、感染者I(t)、隔离者Q(t)和恢复者R(t)四类，建立了一类具有媒体效应和追踪隔离的SIQR 时滞模型。传染病模型仓室示意图如图1 所示。

由图1，得到时滞微分方程：

图1 模型1 仓室示意Fig.1 Compartment diagram of model 1

其中，Λ表示人口的常数输入，α表示去过病毒污染场所的易感者的比例，μ表示自然死亡率，η表示感染者的检测率，r1，r2分别表示感染者和隔离者的恢复率，ζ1，ζ2分别表示感染者和隔离者的因病死亡率，τ表示媒体报道所产生的时滞。据文献［26］，去过病毒污染场所的易感者的追踪隔离率函数为

假设式（2）满足初始条件：

S(θ)=φ1(θ)，I(θ)=φ2(θ)，θ=[-τ，0]。（3）φ=（φ1，φ2）T∈C，其中C表示全体从[-τ，0]映射到R2+的函数组成的巴拿赫空间C([-τ，0]，R2+)。设(S(t)，I(t))为式（2）满足初值条件式（3）的解，显然对任意的t≥0，有S(t)≥0，I(t)≥0。令N1(t)=S(t)+I(t)，由文献［27］，知式（2）的解具有非负性，并将式（2）的2 个方程相加，得到

2 平衡点的存在性和稳定性

由式（5）的第1 个方程，得

综上，当R0＞1 时，存在地方病平衡点E*=(S*，I*)。故式（2）存在无病平衡点和地方病平衡点。

作为亳文化灵魂的老庄道家文化能有效地指导我们调试文化建设中自我身心、物质与精神的关系，有利于提升公民道德文化素质。同时亳文化译介与国际传播的重要任务是大力推进地方文化建设，提高城市文化品位，打造亳州文化城市国际品牌。加强亳文化与其它区域文化的对比、对照、互识等译介研究，将会进一步拓展亳文化的精神与文化内涵，推进亳文化的传承与创新，服务于亳州地方文化建设。

定理1 得证！

注1 研究无病平衡点和地方病平衡点的性态具有十分重要的意义。无病平衡点对应疾病的消亡状态，而地方病平衡点对应疾病最终在人群中长期存在，成为一种地方病的状态。因此，研究平衡点的稳定性，对了解疾病的最终发展趋势具有重要的理论意义。

定理2 当R0＜1 时，对任意的τ≥0，无病平衡点E0局部渐近稳定；当R0＞1 时，E0不稳定。

证明 将式（2）线性化，可得其在E0处的特征方程为

定理3 当R0＜1 时，对任意的τ≥0，式（2）的无病平衡点E0全局渐近稳定。当R0＜1 时，由LaSalle不变集原理，得式（2）的无病平衡点E0全局吸引，结合定理2，可得E0全局渐近稳定。

注2 局部稳定性只能描述当初始值落在平衡点附近时疾病是灭绝还是持续存在，而全局稳定性则可将系统的初始值扩充至在更大范围内变化时，研究疾病的最终状态。

定理4 当R0＞1 时，若τ=0，则地方病平衡点E*局部渐近稳定。

证明 线性化式（2），可得其在E*处的特征方程为所以式（7）的根均有负实部。故当τ=0 时，地方病平衡点E*局部渐近稳定。

当τ＞0 时，随着τ的不断增大，地方病平衡点失去平衡，产生Hopf 分支。

3 地方病平衡点的Hopf 分支

4 疾病的持久性

5 数值模拟

取初始值(S，I)=(1.5，0.5)，θ∈[-τ，0]，参数Λ=0.4，α=0.1，β1=0.5，β2=0.9，β0=0.45，β00=0.85，δ=0.075，μ=0.2，η=0.000 3，r1=0.1，ξ1=0.000 2，σ=200，计算得到基本再生数R0=3.594 0 ＞1，地方病平衡点E*=(1.683 0，0.210 8)，取k=0，经计算可得，ω0=0.161 1，τ0=11.696 0。因此当取τ=10.5 ＜τ0时，地方病平衡点E*局部渐近稳定（图2 和图3），且p21-4p2=0.003 6，满足式（11）条件（i）或（ii），与定理5 一致。随着τ的增大，当取τ=12.5 ＞τ0时，观察到系统在地方病平衡点E*附近出现了分支周期解，如图4 和图5 所示。

图2 当τ=10.5 时地方病平衡点E*=(1.683 0，0.210 8)局部渐近稳定Fig.2 The endemic equilibrium E*=(1.683 0，0.210 8)is locally asymptotically stable when τ=10.5

图3 当τ=10.5 时E*局部渐近稳定的相位图Fig.3 Phase diagram of local asymptotically stable E*when τ=10.5

图4 当τ=12.5 时式（2）出现分支周期解Fig.4 The branching periodic solution of system（2）appears when τ=12.5

图5 当τ=12.5 时E*的相位图Fig.5 Phase diagram of E* when τ=12.5

为更清楚地观察τ变化对式（2）的影响，绘制了易感者和感染者关于τ的分支图（图6）。由图6 可知，起初正平衡点是稳定的，当τ大于临界值τ0时，出现了周期解，这与定理5 一致，说明时滞导致地方病平衡点失稳，产生周期性振荡。

图6 式（2）中易感者和感染者相对于τ 的分支图Fig.6 Branching diagram of susceptible τ and infected persons relative to in system（2）

为研究媒体报道对系统的影响，固定τ=20，绘制以δ为分支参数的分支情况（图7）。由图7 可知，当δ增大时，式（2）从周期性振荡逐渐向平衡点靠近；系统越靠近平衡点，δ越大，媒体未对传染病信息及时报道，感染者数量随δ的增大而增多，由于总人数不变，易感者人数随δ的增大而减少。

图7 式（2）中易感者和感染者相对于δ 的分支图Fig.7 Branching diagram of susceptible δ and infected persons relative to in system（2）

同时，β0和β00表示媒体影响可达到的对有效接触率的最大抵消作用，反映媒体报道对有效接触率的影响。固定τ=20，绘制以β0和β00为参数的分支图，如图8 所示。

由图8 可知，当β0和β00增大时，式（2）由平衡状态转为周期性振荡。当系统趋于平衡状态时，随着β0和β00的增大，媒体影响因子对有效接触率的抵消作用增强，有效接触率变小，使易感者不易接触感染者，感染者数量减少。由于总人数不变，易感者数量随β0和β00的增大而增多。固定τ=10.5，研究媒体影响因子β0，β00，δ以及追踪隔离影响因子σ的变化对感染者数量的影响，如图9～图12 所示。

图8 式（2）中易感者和感染者相对于β0 和β00 的分支图Fig.8 Branching diagram of susceptible and infected persons relative to β0 and β00 in system（2）

由图9 和图10 可知，媒体报道可大大削弱疾病的传播。由图11 知，δ越小感染者数量越少，说明媒体通过对传染病信息的广泛报道可减少疾病的传播，从而减少感染数量。由图12 知，σ越小感染者数量越少，说明通过提高媒体报道中相关信息的准确率，可提高感染者的追踪隔离率，从而减少感染者数量，有效控制疾病的爆发。

图9 参数β0 对I(t)的影响Fig.9 The influence of parameter β0 on I(t)

图10 参数β00 对I(t)的影响Fig.10 The influence of parameter β00 on I(t)

图11 参数δ 对I(t)的影响Fig.11 The influence of parameter δ on I(t)

图12 参数σ 对I(t)的影响Fig.12 The influence of parameter σ on I(t)

6 结 论

为研究因媒体报道的延迟所产生的时滞对疾病发展的影响，建立了一类具有媒体效应且存在追踪隔离的SIQR 时滞模型，研究了式（2）各个平衡点的存在性和稳定性，讨论了Hopf 分支的存在条件。数值模拟显示，当τ较小时，地方病平衡点局部渐近稳定，随着时滞τ的增大，式（2）出现分支周期解，与定理5 一致；随着τ的增大，模型变得不稳定，出现周期性振荡，而固定τ、减小β0和β00、增大δ，会使感染者数量增加。此外，对影响因子β0，β00，δ和σ进行了敏感性分析，得到采取媒体报道和追踪隔离措施可有效控制传染病的蔓延。

若对人群进行更细致的划分，模型将能更真实地反映疾病在现实复杂社会网络中的传播情况。后续工作可考虑建立复杂网络中的传染病模型。另外，媒体报道对疾病控制的影响很大，可考虑将媒体报道的信息量作为独立仓室，更严谨细致地研究媒体报道与感染者的关系，这将是很有意义的。