王其文

空间角主要有异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角.空间角问题对同学们的逻辑推理和空间想象能力有较高的要求.求空间角的大小，一般采用定义法和向量法.下面，结合实例来探讨一下如何运用定义法和向量法求空间角的大小.

一、采用定义法

运用定义法求空间角的大小，主要是利用异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的定义进行求解.运用定义法求异面直线所成的角的大小，需作一条直线的平行线，使其与另一条直线相交，求得其夹角的大小即可.运用定义法求直线和平面所成的角的大小，需在平面内找到平面外直线的射影，求得该直线与其射影的夹角.运用定义法求二面角的大小，需根据其平面角的定义进行求解，过二面角棱上的一点在两个半平面内作两条垂直于棱的直线，求得其夹角的大小.运用定义法求空间角的大小，关键在于根据异面直线所成的角、直线和平面所成的角及二面角的定义作出平面角，将空间角问题转化为平面角的问题，再利用平面几何知识，如勾股定理、正余弦定理、三角形的性质、平行四边形的性质来求得角的大小.

例1.如图1，在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱 PD⊥底面 ABCD ，PD = DC ，E 是 PC的中点.

（1）证明：PA ∥平面EBD .

（2）求 EB 与底面 ABCD 所成的角的正切值.

通過观察与分析，可发现 EF ⊥ 底面ABCD ，就能快速确定 EB 在底面 ABCD 内的射影 BF ，这样就可 以直接利用定义法，根据直线与平面所成角的定义， 确定直线 EB 与底面 ABCD 所成的角，即 ∠EBF .

二、运用向量法

向量法是指根据已知条件建立空间直角坐标系， 将空间角问题转化为坐标运算问题来求解.在建立合 适的空间直角坐标系后，要先分别设出或求出各个相 关点的坐标，求得所求线段的方向向量、平面的法向 量；然后根据空间向量的数量积公式求空间角的大小.

例 2. 如 图 2，在 四 棱 锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 为菱形， PA ⊥ 底面ABCD，AC = 2 2，PA= 2， E 是 PC 上的一点， PE = 2EC ，设 二面角 A - PB - C 为 90° ，求 PD 与平面 PBC 所成角的大小.

建立空间直角坐标系的方法往往有多种，如本题 中，可设 AC与BD 的交点 O 为原点，以 OC 为 x 轴，OD 为 y 轴建立空间直角坐标系；也可以点 A 为原点，AC 为 x 轴，AP 为 y 轴建立空间直角坐标系.建立不同的 坐标系，求得的点的坐标不相同，解题的步骤也有所 不同，但是空间角的大小却是一样的.

空间角问题，既可以用定义法求解，也可以运用 向量法求解.在面对不同的题目条件时，要选择最合 适、简便的一种方法求解，这样才能有效地提升解题 的效率.

（作者单位：江苏省射阳县高级中学）