夏鸿鸣， 杨丽新， 顾梓玉

(1.天水师范学院 数学与统计学院，甘肃 天水 741001; 2.陕西科技大学 文理学院,陕西 西安 710021)

分数阶微积分是整数阶微积分的推广，但是由于分数阶微积分缺乏实际的应用背景，所以发展相对缓慢[1].近年来，由于分数阶非线性系统在工程等领域的应用，有关分数阶非线性系统的研究引起了很多学者的关注[2-4].另一方面，混沌是非线性系统的一种随机现象，广泛存在于各类系统中.混沌系统主要包含2大类吸引子：自激吸引子和隐藏吸引子.这2类吸引子具有完全不同的动力学特征，文献[5]研究了一类特殊三维自治动力学系统隐藏吸引子的数值仿真，文献[6]讨论了振荡系统的隐藏吸引子.混沌同步属于混沌控制的范畴，根据误差系统，有不同类别的同步形式，如投影同步、反相同步、组合同步等[7].混沌同步在实际中有很多的应用，如保密通信等.鉴于此，本文中，笔者基于所提出的分数阶新系统，设计了有效的控制器，实现了此分数阶非线性系统的组合同步.

1 分数阶新系统及动力学模型

学者们通过施加反馈控制器，提出了一个四维的整数阶混沌系统，并对其动力学行为进行深入讨论.系统方程描述如下:

(1)

其中x,y,z,w表示状态变量,a,b,d,m是正参数,c是实数.

研究结果表明,系统(1)在特定的条件下没有平衡点，隐藏吸引子的存在条件表明系统(1)存在隐藏吸引子.基于此整数阶非线性系统提出对应的分数阶系统，并对其动力学行为进行深入讨论.相应的分数阶非线性系统表达式描述如下：

(2)

系统(2)的平衡点可通过解下面的方程组得到:

(3)

如果c=0,系统(2)就有平衡点线E={(x,y,z,w)|x=z=0,y=p,w=-ap/m},其中p是实数;如果c≠0,系统(2)没有平衡点.根据隐藏吸引子的定义，分数阶系统(2)能产生隐藏吸引子.

2 分数阶新系统动力学行为分析

2.1 基于系统参数的隐藏吸引子

首先,固定系统参数取值a=10,b=4,c=1,d=1,m=0.001,调整系统的阶数qi(i=1,2,3,4),假设系统是等阶分数阶系统，即q1=q2=q3=q4=q.图1给出几个典型的隐藏吸引子.

a.q=0.82; b.q=0.91.

为了进一步研究新系统的动力学行为,分岔图是比较有效的方式之一，以系统的阶数为分岔参数，得到如图2所示的分岔图，q从0.82变化到0.99，可以看出，当q=0.84时，系统产生切分岔，当q⟩0.848时，系统呈现混沌态.

图2 分数阶系统(2)随系统阶数q∈(0.82,0.99)变化的分岔图

等阶分数阶非线性系统是最简单的分数阶系统，因为不等阶系统的动力学行为特别复杂，重点考虑几种比较特殊的取值.系统(2)对应的隐藏吸引子如图3所示.可以看出，当阶数取值不同时，吸引子的状态完全不同，如周期态和混沌态.

a.q1=0.88,q2=0.88,q3=0.95,q4=0.95; b.q1=0.90,q2=0.90,q3=0.99,q4=0.99.

固定分数阶非线性系统的阶数取值，观察系统的隐藏吸引子状态.分数阶非线性系统的阶数为q=0.95,调整参数b的取值.系统(2)的吸引子如图4所示.当参数的取值不同时，系统的隐藏吸引子可以为周期以及不同的混沌态.图5给出了系统随b变化的分岔图，可以发现和图4的行为是吻合的.

a.b=1.70; b.b=1.98.

图5 系统随b变化的分岔图

当系统的部分参数取值为a=10,c=1,d=1,m=0.001,q=0.95，1.5≤b≤2.1,系统的分岔图如图5所示.当1.5≤b≤1.9时，系统呈现出1周期和倍周期行为，之后出现混沌吸引子.

2.2 基于初始条件的隐藏吸引子

选取系统的阶数为q=0.95，参数值为a=10,c=10,d=0.001,m=1,当b=4.0,2.5,在不同的初始条件下，x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1和x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1系统呈现共存吸引子，如图6a,b所示.其中蓝色线表示初始值为x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1,红色线表示初始值为x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1.当调整参数取值为a=10,b=3.8,c=10,d=1,m=0.001,q=0.95和a=10,b=4.6,c=-10,d=1,m=0.001,q=0.95时，不同类型的隐藏吸引子如图6c,d所示.其中蓝色线表示初始值为x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=1,红色线表示初始值为x(0)=y(0)=z(0)=w(0)=-1.由图6可以看出，当系统的初始值不同时，分数阶系统(2)呈现出不同类型的共存隐藏吸引子，如周期态、倍周期、混沌等.

a.b=4.0; b.b=3.6; c.b=3.8; d.b=4.6.

3 组合同步

首先给出组合同步的定义，考虑如下2个驱动系统：

(4)

(5)

则对应的响应系统可以表述为

(6)

其中x=(x1,x2,…,xn)T,y=(y1,y2,…,yn)T,z=(z1,z2,…,zn)T表示状态变量，函数f,g,h:Rn→Rn时是连续函数，U是待设计的控制器.

定义1对于2个驱动系统(4)(5)及响应系统(6),若存在3个常值矩阵P,Q,K∈Rn且使得

(7)

成立，则称驱动系统和响应系统实现了组合同步.选取矩阵为

P,Q,K=diag(1,1,…,1).

则2个驱动可分别描述为

(8)

(9)

响应系统可描述为

(10)

则误差系统为

(11)

设计如下同步控制器：

(12)

同步误差曲线如图7所示.误差曲线演化过程没有规律，随着时间推移，误差曲线最终趋于0，在所设计控制器下，驱动系统和响应系统可以实现组合同步.

图7 系统(10)(11)(12)的同步误差曲线

4 结 论

提出了一个具有丰富动力学行为的分数阶系统.此系统在一定条件下存在隐藏吸引子.调整分数阶非线性系统的阶数和参数以及初始条件的取值范围，新的分数阶非线性系统会呈现不同形态的隐藏吸引子和共存吸引子，包括周期、倍周期和混沌吸引子.同时研究了此系统的组合同步行为，设计了有效控制器，实现了组合同步，数值仿真验证了方案的有效性.