中日高中数学教材概率与统计的比较研究

2022-03-07覃淋喻晓婷张静

中学数学杂志(高中版) 2022年1期

覃淋喻晓婷张静

【摘要】以“概率与统计”作为研究对象，对中日两国高中数学教材进行比较研究.研究发现：中国教材知识点数量多于日本教材;两套教材中概率内容都多于统计内容;中国教材比较注重定义的严格性，日本教材比较注重数学知识的内部联系;两套教材都强调数学的应用，注重将计算机融入教材.

【关键词】数学教材;概率与统计;比较研究;计算机

教材为教师的教与学生的学提供学习主题、基本线索和具体内容，为学校的教与学活动提供了基本范例、基本思路和基本方法，是实现数学课程目标、发展学生数学学科核心素养重要的教学资源＼[1＼].考查历史上重要的数学教育改革，我们可以发现教材改革是数学教育改革的中心问题之一，如由美国引领，最后几乎波及全球的新数学运动＼[2＼].教材作为教师教、学生学的主要依据，其质量会直接影响教学效果.对教材进行分析和比较，是为了更好的利用教材，充分发挥教材在教学活动过程中的价值，使教师能创造性的使用教材，更好地为教师的教与学生的学服务.

本文之所以选取概率与统计作为研究对象，主要基于以下原因：首先，随着社会的发展，概率与统计在人们的生活中扮演着越来越重要的角色，概率与统计的基础知识已经成为一個未来公民的必备常识，概率与统计素养是现代社会每一个人应该具备的基本素养.其次，概率与统计在各国的中小学数学课程中占据重要地位，是我国数学课程改革变化较大的内容之一，是《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《标准》）中特别加强的内容，也是我国高中数学教学中的“弱项”，其思维方式和代数、几何等传统数学教学内容不同.最后，中小学数学教师对概率与统计的认识和理解不是很深刻，我国高中数学教师的概率统计知识储备不足，大部分教师对概率统计的基本概念理解深度不够＼[3＼].本文研究中日两国高中数学教材中概率与统计的内容设置以及重要知识点的处理，希望能为我国高中数学教材概率与统计的编写提供一些参考.

1 研究对象

考虑教材的使用范围以及教材能否体现所在地区数学课程标准的理念，结合教材的出版时间，确定了研究对象＼[48＼].

2研究结果

2.1知识点的比较

根据我们所选择的教材，统计了两套高中数学教材中概率与统计的知识点及其数量，结果如下（“+”表示有此知识点，“-”表示无）

高中数学学习的概率知识主要有概率、随机变量及其分布、随机变量的数字特征、条件概率、全概率公式和一些常见的概率分布.统计知识有收集数据和分析数据两方面，前者是抽样调查，包括随机抽样等内容;后者是统计推断，包括假设检验、线性回归分析等.

由表2，我们总共列出了46个知识点.在知识点数量上，中国教材多于日本教材，有40个;日本教材有35个.对两套教材中概率与统计知识点数量进行统计，计算各自所占比重.得到如图1的结果.

由图1知，中国教材中概率与统计知识点数量分别为25、15，所占比例分别为62.5%、37.5%;日本教材中概率与统计知识点数量分别为20、15，所占比例分别为57.14%、42.86%.具体知识点的差异见表3.由表3知，在概率与统计内容知识点的选择上，日本教材中有些内容，如统计数据的计算机处理、大数定律、随机变量的和与积等是中国教材没有的.具体来看，首先是概率部分，和日本教材相比，中国教材介绍的内容较多，如全概率公式和贝叶斯公式、两点分布以及超几何分布等内容，日本教材均未涉及.其次，在统计部分，描述性统计方面，两套教材的知识点仅有细微差别;在推断性统计内容方面，中国教材就涉及较少，与日本教材差别较大.

2.2知识点处理的比较

首先，从内容模块的编排顺序看，两套教材的顺序都是“统计—概率—概率—统计”，和03版实验教材的顺序一样.与03版实验教材相比，中国教材增加了较多的内容（删除了系统抽样和几何概型），不管是知识广度上，还是内容深度上，都大大增加了.其次，从教材对具体知识点的处理看，中国教材对有些知识仅简单加以介绍.比如正态分布，中国教材以问题引入的形式介绍了正态分布，讨论了正态分布密度曲线的特点以及均值、标准差对正态分布的影响.还以文本框旁白的形式简单介绍了正态分布的历史，利用Excel中的NORM DIST函数来计算P（X≤x）.日本教材除上述内容外，还介绍了连续性随机变量的概率密度函数、正态分布的应用，二项分布当样本量足够大时，趋近于正态分布.从内容表述上看，两套教材都比较注重数学学科内部知识的联系，强调数学的整体性.

下面以概率的定义、数据分析两个核心主题为例来讨论.

2.2.1概率的定义

高中数学教材中对于概率这个概念的讨论，一般会介绍概率的“统计定义”和“古典定义”，但不同教材在处理方式上有所不同.“古典定义”是在等可能性的基础上给出的.假设一个试验有N个等可能出现的结果，对于事件A来说，它恰好包含了这个试验中的M个结果，那么事件A发生的概率记为P（A）=MN＼[9＼].比如掷硬币，在硬币质地绝对均匀的情况下，正反面出现的概率一样的，都是12;如果我们把掷一次硬币出现正面记为事件A，那么事件A发生的概率就是P（A）=12.概率的“统计定义”是一种通过试验去估计随机事件概率的方法.直观来说，就是一个随机事件出现的可能性的大小，可以通过多次重复试验中这个事件发生的频繁程度去刻画＼[9＼].历史上有许多这样的试验，如03版实验教材中介绍的掷硬币试验.

中国教材先是介绍了随机试验、样本点、样本空间等概念，再用样本空间和集合定义了随机事件、必然事件、不可能事件等内容.之后给出了概率的定义＼[4＼]：“对随机事件发生的可能性大小的度量（数值）称为事件的概率.”然后给出了古典概型的定义，接着讨论古典概型中随机事件发生概率的计算.在给出计算公式后，以文本框旁白的形式简要介绍了古典概型的历史.随后，中国教材又以一节的内容讨论了频率与概率，首先给出了学习本节内容的必要性：“现实世界中，很多试验的样本点往往不是等可能的.”接着，以“探究”活动的形式来讨论频率与概率的关系，让学生通过分组抛硬币来得到结论：“一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn（A）会逐渐稳定于事件A发生的概率就是P（A）.”在这段文字的右边，以图文旁白的形式介绍了雅克布·伯努利.

日本教材也介绍了概率的两种定义，但在处理方式上有很大不同.首先介绍了随机事件的概念，接着介绍抛硬币的试验，给出了概率的“统计定义”：“一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率mn总是接近于某个常数，在这个常数附近波动，我们把这个常数称为事件A发生的概率，记作P（A）.”在给出了概率的“统计定义”后，引入了具有等可能性的事件，在此基础上把概率的“古典定义”作为计算随机事件概率的方法给出.这种处理方式和我国《全日制普通高级中学数学教学大纲（试验修订版）》下的教材是一样的.

两套教材在本内容知识点的编排和处理上有共性也有差异.首先，知识点的选取上，中国和日本教材都介绍了概率的两种定义.其次，从知识点编排顺序看，中国教材是先介绍古典定义，后统计定义;日本教材是先统计定义，再古典定义.最后，在知识点的处理上，中国教材和日本教材在概率的“古典定义”的处理上是相似的，但在概率的“统计定义”的处理上不一样.

2.2.2数据分析

高中学习的统计内容主要包括收集数据和分析数据两部分.在通过随机抽样得到数据后，就需要对数据进行处理.得到的样本数据可进行单变量分析（描述性统计量的计算以及统计图表绘制）与多变量分析（相关性分析、线性回归分析）.

首先，从两套教材涉及的内容看，中国教材主要有：总体、样本、频率分布直方图、百分位数、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、数据的标准化;散点图、线性相关、最小二乘法、回归直线、独立性检验.日本教材主要有：总体、样本、平均数、中位数、众数、极差、方差、标准差、统计数据的计算机处理;散点图、相关系数、中心极限定理等.可以看出，在描述性统计量的讨论上，两套教材的内容差不多，不同的是日本教材专门用了一节内容来讨论利用Excel来计算描述性统计量.

其次，从两套教材对内容的处理来看，两套教材的大体框架也不一样，就描述性统计量的讨论而言，中国教材和日本教材是放在必修内容中，对多变量分析这一内容，中国教材是属于选择性必修的，日本教材是放在选修部分.中国教材一共用了5节来分别介绍这两部分内容.先是介绍了利用频率分布表和频率分布直方图对随机抽样得到的数据进行描述和表示，得到总体的取值规律.接着讨论了总体百分位数的估计和用样本的数字特征（平均数、中位数、众数、方差、标准差等）估计总体的集中趋势和离散程度.正文之后，在“阅读与思考”中以案例的形式介绍了统计学的应用.但没有引入中心极限定理、置信区间等内容来说明怎样对“样本估计总体”的可接受性做出判断.在选择性必修部分，以一章的内容讨论了“成对数据的统计分析”，先介绍两个数据之间的相关性，接着介绍了一元线性回归模型及其应用，以及两个分类变量的独立性检验.对于描述性统计量的讨论，日本教材专门用了一章来讨论.先是介绍了一些描述性统计量，如平均值、众数、中位数、极差、方差等，然后讨论了两变量之间的相关关系，最后介绍了用Excel来计算这些描述性统计量以及相关系数.

总的来说，在本内容中，中国教材在知识点数量上比较多，但在内容深度上不够深入.日本教材知识点数量较少，在内容深度上也低于中国教材.虽然《标准》中大力强调要“发展学生应用数学的意识”，但从教材内容的编排来看，力度还不够.相比而言，中国教材还是更强调对基础知识的掌握，概率與统计是数学中应用性很强的分支，尤其是统计.随着我国经济与社会的发展对统计的需求，统计学在2010年已经上升为与数学并列的一级学科，其应用范围已经涉及到现代社会以及人们日常生活的各个方面.美国著名统计学家C.R.劳认为，“在终极的分析中，一切认识都是历史;在抽象的意义下，一切科学都是数学;在理性的基础上，所有的判断都是统计学.”＼[10＼]统计的重要性由此可见一斑.教师在教学中强调对统计思维体会的同时，也应该重视运用统计方法结合统计软件来处理一些简单的实际问题，培养学生的应用意识，引导学生“会用数学的眼光观察世界，会用数学的思维思考世界，会用数学的语言表达世界”.

2.3对学生能力培养的比较

2.3.1计算能力

我们认为计算能力至少应该包括以下三个方面：一是笔算能力，二是计算工具的使用，三是编程要求（在概率与统计中，表现为统计软件的使用：计算机模拟和数据分析）.对学生计算能力的培养也应考虑这几个方面.

中国教材中，几乎没有涉及编程.在简单随机抽样部分介绍随机数法时，介绍了用Excel和R软件来产生随机数.在“随机抽样”一节中，以“信息技术应用”的形式介绍了Excel和R软件的简单统计功能：产生随机数、随机抽样和统计量的计算.在选择性必修3中，以“信息技术应用”的形式介绍了用GeoGebra画二项分布、超几何分布、正态分布的概率分布图.

统计是关于数据收集和分析的科学，一般包括收集数据和分析数据两部分.两套教材都涉及了这两方面的内容.通过随机抽样或实验设计得到数据后，需要对得到的数据进行整理分析，以此来推断总体的情况，这是进行统计推断的主要目的，也是高中数学统计教学的主要目的之一.学会利用计算机对统计数据进行处理，是对学生计算能力培养的重要组成部分.《标准》中也要求“运用计算器、计算机进行模拟活动，处理数据”.

国际上有专门为中小学统计教学而开发的统计教学软件——Fathom动态数据软件、TinkerPlots动态数据软件等.这样的统计教学软件是可以也能够引入到中小学概率统计教学中的.这对改善统计教学，发展学生的数据分析能力和数学应用意识大有裨益.美国《统计教育评价和教学指导纲要》（Guidelines for Assessment and Instruction in statistics Education）指出：信息技术改变了统计学家的工作方式，也应该改变他们的教学方式.……信息技术应该被用于分析数据，让学生聚焦于对数据结果的解释和条件的检验，而不是单纯的计算.……信息技术也可以用于帮助学生将概念可视化，通过模拟发展对抽象概念的理解＼[11＼].

2.3.2发现、提出、分析和解决问题的能力

《标准》中明确指出，要提高学生“从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”，但从教材概率与统计部分的内容看，由于知识之间的关联性不好，使学生无法对相关问题进行质疑，从而影响对学生提出问题能力的培养.因为“对于任何一门科学的正确概念，都不能从有关这门科学的片断知识中形成，尽管这些片断知识足够广泛.还需要对这门科学的整体有正确的观点，需要了解这门科学的本质”＼[12＼].

“用样本估计总体”属于统计推断的内容，中国教材和日本教材的处理方式明显不同.中国教材在介绍用样本频率分布估计总体分布、总体百分位数的估计、总体集中趋势的估计（平均数、中位数、众数）和总体离散程度的估计（方差、标准差）后，并没有引入置信区间、置信系数等内容来说明怎样对“样本估计总体”的可接受性做出判断.只是指出：由于样本选取具有随机性，用样本的频率分布、平均数和标准差去估计总体的分布、平均数和标准差，可能会存在一定误差，但这一误差一般不会影响对总体分布情况的大致了解.尽管教材也指出了当样本代表性不好时，很可能对总体做出错误的估计，但是这个“可能性”是多少，怎样刻画，并未深入讨论.到这一步时，可以很自然的引入正态分布、极限定理（大数定律、中心极限定理）等内容.中国教材的这种编排破坏了数学知识的整体性.中国教材在必修第二册中先介绍了抽样方法，然后介绍用样本估计总体，在这里可以深入介绍一些统计推断的内容，却没有深入介绍，打乱了数学的逻辑顺序.

3结论与启示

3.1结论

通过对两套高中数学教材“概率与统计”内容的比较研究，我们得出以下结论：

（1）在知识点数量上，中国教材多于日本教材.在知识广度上，中国教材高于日本教材.

（2）两套教材都是概率内容多于统计内容，中国教材概率知识点数量远多于统计.其中，概率部分，两套教材的内容基本一致;两套教材关于描述性统计内容的知识点是一样的，在统计部分，两套教材差别较大，不过日本教材中没有安排一元线性回归的内容.

（3）从两套教材对知识点的处理看，中国教材比较注重定义的严格性，注意结合具体案例引导学生参与数据分析的全过程.日本教材则比较注重数学知识内部的联系，强调数学是一个整体.两套教材都很强调统计知识的应用，注重培养学生的数学应用意识，也比较注重统计软件在教学中的运用.

3.2启示

（1）教材的编写应注意各数学分支之间的联系

数学的各个分支是一个不可分割的有机整体，在作为整体的数学中，使用着相同的逻辑工具，存在着概念间的亲缘关系.概率与统计也不是孤立存在的，尤其是随着大数据时代的来到，其应用范围也越来越广.国际著名数学教育家弗赖登塔尔（H. Freudenthal，1905-1990）曾强调：“不要教孤立的片断，要教连贯的材料，因为有联系的事物学得快，记得牢.”从认知心理学的角度来看，学生掌握了一门学科的基本结构后，能够帮助他理解相关知识，达到触类旁通、融会贯通的境地.然而我们的教材的编写常常将数学按模块或领域划分，将概率统计作为独立的内容，这样不利于学生形成一个整体的数学观，导致学生会认为数学各个分支之间毫无联系.兼顾历史（数学的发展历程）、逻辑（数学科学的特征）、心理顺序（学生认知结构）和学生已有知识经验的教材才是理想的教材.将它们作为一个整体进行讲授，可以帮助学生形成“数学的各个分支是一个整体”的观念，同时算术、代数、几何等内容可以促进学生对“概率与统计”知识的理解.比如蒲丰投针试验，这是将概率与几何联系在一起的一个非常好的实例.再如著名的蒙特卡洛方法，我们可以通过这一方法来计算几何中许多不规则图形的面积.而将搜集的数据，通过点图（dot diagram）、茎叶图（stem and leaf diagram）、箱线图（box and whisker plot）、直方图（histogram）等直观的表示出来，让学生经历数据处理的全过程.在亲自参与的过程中学习数据分析的方法，并运用统计结果解释实际问题.

现实的数学不仅仅是各数学分支之间的相互交织，还应联系着物理、化学、生物等自然科学和一些人文学科.这些学科中许多内容都可作为概率统计教学的素材，教材中也举了相关例子来说明数学在其它学科以及生活中的应用，但与“标准”的要求还有不小差距.

（2）教材应引入统计软件来辅助教学

有学者指出，中小學的概率统计教学应该是一种直观的教学＼[13＼].《标准》中也建议：“鼓励学生尽可能运用计算器、计算机进行模拟活动，利用计算机辅助更好地体会概率的意义和统计思想.”＼[1＼]

日本教材中专门用一节来介绍怎样利用统计软件计算一些描述性统计量，如均值、众数、中位数、极差、方差标准差以及相关系数的计算.中国教材在随机抽样部分，简单介绍了用Excel和R软件来产生随机数.而后以“信息技术应用”的形式介绍了Excel和R软件的简单统计功能.在选择性必修3中，以“信息技术应用”的形式介绍了GeoGebra的简单应用.中日两国的高中数学课程标准中，都明确提出要将现代信息技术融入数学教学，让计算机成为学生数学学习的有力工具.但从教材中概率与统计的内容来看，计算机的融入做得还不尽如人意.

利用计算机对数据进行处理，是对学生计算能力培养的重要组成部分.在概率统计的教学过程中，计算机的使用是很有用处的，是学生学习和教师教学的重要辅助手段，为师生交流、生生交流、人机交流搭建了平台，为学习和教学提供了丰富的资源.除了作为计算工具，更重要的是利用计算机和数学课程深度融合，实现传统教学手段难以达到的效果.如何在保持传统数学教学优势的基础上，将计算机融入教学，在“依赖”与“运用”之间达到平衡，是一个值得深入研究的课题.

参考文献

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