刘克华

中图分类号：A 文献标识码：A

一、案例背景

浙教版数学七上第1章《有理数》的学习，完成了数的第一次拓展——负数的产生。再到第3章《实数》的学习，完成了数的第二次拓展——无理数的产生。至此初中阶段数的拓展已全部完成。其中，平方根和立方根的学习在完成这个拓展中起到了至关重要的作用。然而，初中阶段对于根式的研究仅停留在根指数为2次和3次的阶段，高中提出了更高的要求——n（n为正整数）次方根。这个内容的学习又将初中阶段的整数次幂拓展到分数乃至实数次幂，学生在学习中经历数的拓展过程，完善了对数的认识（图1-1）。

数系虽然拓展了，但是数的运算法则和运算律却没有发生变化。数学的发展过程就是数学家研究和发展数学的过程，每步研究都吸取了前人的成果和经验。因此，数学的教学也应体现知识的生长和数学的发展过程，用已解决的问题作为解决新问题的支点。从数学素养的角度来看，初中阶段根式的学习应当是高中根式学习的重要基础，这是从能力立意走向素养立意，关注学生可长远发展的高阶思维。

二、初高阶段方根 和根式教学内容对比和教学衔接分析

（一）从“二次根式”到“根式”

下面从根式的概念和根式的性质两个角度对初高中根式的学习内容进行比较。

1.根式的概念

[衔接分析]二次根式的概念源自平方根的概念（算数平方根），同样根式的概念源于方根的概念。不同的是，高中将根式拓展到n次之后，表示n为奇数时的n次方根和n为偶数时的非负n次方根。

2.根式的性质

[衔接分析]如上文所说，表示n为奇数时的n次方根和n为偶数时的非负n次方根。因此高中根式的性质1：中不再要求被开方数（图2-12）。考虑到学生思维水平的差异，《新浙教版》教材中二次根式性质1的得出并不是像高中那样根据n次方根的概念直接给出，而是通过归纳、类比得到。为做好初高教学衔接，教师在经历了二次根式性质1的发现过程之后，应适时指出：实际上这个性质的依据是平方根的概念，并在教学伊始对平方根的概念进行回顾。

[衔接分析]对于性质2初中阶段的二次根式仅是n为偶数2的情况，高中还需对n的奇偶性进行分类讨论（图2-14）。因此，为了避免产生负迁移，在初中阶段学习二次根式的性质2（图2-13）的时候不能一味强调的非负性，更要让学生体会到数学的本质，为做好初高教学衔接打下基础。因此，教师在经历了归纳、类比得到性质2的过程之后，根据学生情况可适当介绍演绎推理的方法：是的算术平方根，即。同时，在课上或单元复习课上，让学生思考与有哪些区别和聯系。

总结

从数学的发展角度来看，数学知识的形成是连续衔接的，而不是间隔跳跃的。因此在进行初中数学教学的过程中，不能完全以应试为主导，强制地将初中数学的学习和高中数学的学习分割开来。这对初中数学老师如何做到知识的螺旋上升提出了更高的要求。数学核心素养包含数学抽象、逻辑推理、数学建模等，其中数学抽象要求学生能够更好地理解数学概念、命题、方法和体系。纵观初中到高中的数学学习，就是数学概念和数学思想方法不断完善的过程。因此，不妨站在学生长远发展的角度来审视初中的数学教学，在教学过程中适当融入一些高中的数学思想方法，学生才能逐步具备所需的数学素养。

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.1.

[2]金才华.数学教学参考书.七年级.上册[M].杭州：浙江教育出版社， 2012.8.