郑旭

引言

2020年期间，为积极应对新冠病毒疫情，避免人员聚集和学生感染，国家教育部发布了各级学校应适当推迟开学时间，学生不要提前返回学校的通知，并鼓励教师利用线上平台，停课不停学，保障学生的学习。在正常的学校教学中，信息技术和线上平台只是教学中重要的辅助手段，由于停课不停教，停课不停学，线上教学直接转变为课堂教学的主导方式，这无疑对教师提出了新的要求与挑战。

线上教学是应用在线平台，通过师、生、平台等多边、多向互动和对多种媒体教学信息的收集、传输、处理、共享，来实现教学目标的一种教学模式。线上教学突破了传统教学的时空限制，具有可大量重复，可随时互动等特点。线上教学实践时可以将过程存储在教学云平台上，每堂课的存储备份均可多次播放，提供给没有跟上课堂进度或课后遗忘的学生再次学习。线上教学还将学生的小组互动转变成全班互动，将师生一对一的答疑互动转变成一对多的互动，将师生的课堂时间互动转变为全天候的随时互动。在数学的线上教学中，如何将数学学科特点与线上教学的优势结合起来，值得每个数学教师思考和探究。

数学学科抽象性大，严谨性强，应用广泛。数学学习需要抽象思维，如果教学中借助教具或多媒体的直观演示后再过渡到抽象提炼，学生肯定能更好的理解和掌握。但还是存在少部分课程无法通过直观演示来学习，此时如果课程能重复播放并且随时暂停，学生更加能够掌握课程的重难点。另外，学生应用数学需要足量的数学练习，只有不断实践，学以致用，才有利于学生数学核心素养的提高，这方面可大量重复的线上教学优势极为明显。而且学生通常在学习数学知识的初始过程中，对概念的内化和方法的使用不太严谨，需要师生互动，生生互动来完善自己的知识框架体系，这方面可随时互动和答疑的线上教学也更具优势。

数学学科核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、运算能力、直观想象、数据分析。其中，数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养。数学抽象是数学的基本思想，反映了数学的本质特征。它主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。笔者将借鉴自己线上教学的实践经验，浅析线上教学对学生数学抽象核心素养的影响。

一、案例分析

本案例选自高中数学人教a版选修2-2的《数学归纳法》。由于线上教学互动的便利性，该课程采用学生探究为主，教师引导为辅的学习模式，教学平台可选择希沃云课堂，钉钉，腾讯课堂等软件。在人教版的课本中，数学归纳法的学习是通过类比抽象多米诺骨牌的原理来提炼步骤方法的。受到多米诺骨牌游戏的启发，本节课的教学设计设定为下面5个环节：“数”字小情景;研“学”玩游戏;类比“归”原理;例题来“纳”入;深化妙方“法”。学生完成一个环节的学习就如同推倒一块骨牌，依次学完5个环节就相当于成功推倒“数”“学”“归”“纳”“法”5块骨牌，即完成本节课的学习。

（一）教学设计

1.数字小情景

情景1：从前有个财主，请来一位先生教儿子识字。先生写一横，告诉他的儿子是“一”字;写两横，告诉是个“二”字;写三横，告诉是个“三”字。学到这里，儿子就告诉父亲说：“我已经会了，不用先生再教了。”财主很高兴，就把先生给辞退了。有一天，财主要请一位姓万的朋友，叫儿子写请帖，请问同学们知道他是怎么写“万”字的吗？

教师：请问财主儿子学习数字时用到什么推理？

情景2：观察下列式子，其计算结果都是质数，于是任何形如n2-n+11（n∈N*）的数都是质数，请问这个猜想对吗？

12-1+11=11

22-2+11=13

32-3+11=17

42-4+11=23

52-5+11=31

学生自主探究后发现，n=11时猜想不成立，从而发现归纳推理的结论不一定正确。

设计意图：通过汉字数字和阿拉伯数字两个情景，造成学生的认知冲突，引起学生的学习兴趣，激发学生的探究欲。

2.研学玩游戏

问题：观察下列式子，

1×2=      ×1×2×3，

1×2+2×3=     ×2×3×4，

1×2+2×3+3×4=     ×3×4×5，

1×2+2×3+3×4+4×5=     ×4×5×6，    ……

所以猜測1×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）=     n×（n+1）×（n+2），这个猜测对吗？

教师：怎么判断猜想正确性呢？有没有一种数学方法能通过有限步来证明此类无限的问题？

学生思考后充满好奇和疑问。

教师：为了回答这个问题，需要借助一个游戏——多米诺骨牌。老师现在上传多米诺骨牌小游戏（Easy Toppling Dominoes）安装包，请同学们安装在手机或者学习平板上，然后发挥创意，搭建一个由多米诺骨牌组成的骨牌区块，再成功推倒使游戏成功运行。最后总结多米诺骨牌游戏成功的条件。

学生积极的参与到多米诺骨牌的游戏中，涌现了很多精美的作品。最后自主讨论，得出游戏成功的2个条件：①保证第1张骨牌倒下，②如果第k张骨牌倒下，则第k+1张骨牌也倒下。

设计意图：在传统的学校教学中，多米诺骨牌通常只是由教师演示或学生有限参与，学生不得不抑制自己参与探究中学习的积极性。线上教学由教师上传游戏后，每个学生都能够参与到游戏的探究中，极大的激发学生的好奇心，让每个学生都能从情景中抽象出数学概念，命题，方法和体系，提高数学抽象的核心素养。

3.类比归原理

探究：类比游戏原理，尝试证明对于任意正整数 ，都有1×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）=      n×（n+1）×（n+2）成立。

多米诺骨牌 任意正整数n等式成立

①保证第1张骨牌倒下

②如果第k张骨牌倒下，则第k+1张骨牌也倒下

学生经过自主探究和全班谈论后，填写表格，完成对数学归纳法方法的总结：①归纳奠基：验证n取第一个值时命题成立，②归纳递推：假设n=k时命题成立，验证当n=k+1时命题成立。

设计意图：经过多米诺骨牌直观的体验，学生可以轻松的从游戏中抽象出一般的规律和结构，并用数学语言予以表征，形成方法，解决问题，提高了自身的数学抽象的核心素养。

4.例题来纳入

例1：应用数学归纳法证明：11×2+2×3+3×4+…+ n×（n+1）=      n×（n+1）×（n+2）（n∈N*）

例2：应用数学归纳法证明：1+     +      +…+         <n（n∈N*，n>1）

学生在教师引导下完成例题证明，教师在课件上展示证明格式。

设计意图：例1即前面研学环节引入的问题，学生在初步掌握数学归纳法后，直接应用方法解决问题，获得解决问题的成就感。例2是用数学归纳法证明不等式，而且n>1，加深学生对数学归纳法归纳奠基的理解。

5.深化妙方法

深化1：对于1+2+…+（2n+1）=（n+1）（2n+1）用数学归纳法证明时，在验证n=1时，左边所得的代数式是（         ）

A.1             B.1+3             C.1+2+3                   D.1+2+3+4

深化2：對于          +          +          +…+                       =

（n∈N*），从n=k到n=k+1左边需要添加的项是（        ）

A.                                      B.                        +

C.           &nbsp;                          D.

深化3：某同学用数学归纳法证明：1+2+22+…+2n-1=2n-1（n∈N*）的过程如下：

（1）当n=1时，左边=1=右边，等式成立

（2）假设当n=k时等式成立，即1+2+22+…+2k-1=2k-1，则当n=k+1时，左边=1+2+22+…+2k-1+2k=                     =2k+1-1=右边，即当n=k+1时，等式成立。

由（1）（2）可知，等式对任意n∈N*成立。

请问该同学的解法正确吗？如果正确，请说明理由，如果错误，请帮忙更正。

学生经过思考和讨论后，完成3道题目的解答。教师进行课堂小结和作业布置。

设计意图：学生解答深化1，深化2时能加深对数学归纳法的归纳奠基和归纳递推的理解，解答深化3时能提高方法辨析，克服易错点，更有逻辑地表叙论证过程，更加透彻地理解演绎推理，从而提高数学逻辑推理的核心素养。

二、结语

本节课的线上教学结束后，笔者在与学生互动时收获不少好评，学生作业正确率也有所提高，还收到部分学生继续体验的多米诺骨牌游戏截图（见附录），说明只要将线上教学的优势与数学学科特点正确结合起来，更能提高学生的数学抽象等核心素养。线上教学的灵活和互动，十分适合数学学科的本质和应用。虽然线上教学目前只是特殊时期成为学生学习的主要方式，但笔者相信，随着技术发展，以及更多学生自主学习意识的觉醒，线上教学会越来越受到欢迎，逐渐成为学生学习中不可或缺的一种重要模式。

附录：

截图一：                                     截图二：

（作者单位：广州市广东华侨中学，广东   广州   510000）