任佳敏

(山西大学 数学科学学院，山西 太原 030006)

0 引言

本文研究以下具有声学边界条件,非线性内部及边界源项的拟线性波方程解的整体不存在性，

其中:a,b,k>0，α,β,m,p,l>2，Ω是Rn(n≥1)的一个有界正则区域且∂Ω=Γ0∪Γ1。这里Γ0,Γ1均为闭的且互不相交，函数h(x),f(x),q(x):Γ1→R+是本性有界的且在Γ1上有:0

声学边界条件由Morse和Ingard在文献[1]中首次提出，并在文献[2]中得到了完善和发展。文献[3]研究了具有非线性阻尼项和源项的拟线性双曲型方程解的能量衰减和爆破。文献[4]研究了具有内部源项j1(u)和边界源项j2(u)的波方程局部解的存在唯一性、解的全局存在性及j1(u)=0时解的某一指定范数增长率。

文献[5]研究了以下具有多孔声学边界条件的非线性波动方程解的整体不存在性，文中用到了经典的势阱方法和凹性方法，

文献[6-8]证明了一类具有非线性阻尼项和源项的波方程解的整体不存在性。文献[9-10]研究了具有声学边界条件的黏弹性波方程解的存在性、爆破和衰减。文献[11-12]证明了非线性发展方程整体解的不存在性。文献[13]研究了具有时滞和声学边界条件的拟线性波方程解的整体不存在性。文献[14-18]均利用伽辽金逼近法得出方程弱解的存在性。文献[19]利用能量扰动法和构造李雅普诺夫(Lyapunov)泛函法，证明了系统的解在有限时间内爆破。

文献[20]研究了以下具有声学边界条件的拟线性波动方程，证明了在初始能量为负的情形下解的整体不存在性：

受以上这些文献的启发，本文在文献[20]的基础上，在声学边界上有源项时，研究边界源项对解的影响，并最终得出解的整体不存在性。

1 预备知识

引入空间

固定T>0,定义能量泛函如下：

(2)

引理1 若(u,z)为方程(1)的解，则由式(2)定义的能量泛函E(t)满足：

(3)

证明用ut乘以方程(1)中第1个式子并在Ω上积分，易得式(3)。引理1证毕。

利用文献[14-18]中的方法，可以证明方程(1)有局部解存在性，结果如下：

2 解的整体不存在性

定理2 假设α,β,m,p,l≥2,max{β,m}≤α

E(0)<0，

(4)

则方程(1)的解(u,y)∈Z×L2([0,T);L2(Γ1))在有限时间内爆破。

证明令H(t)=-E(t)，则由式(2)～式(4)可得：

(5)

构造Lyapunov泛函：

(6)

(7)

其中：M，j1，j2，j3的取值范围将在后面给出。

首先估计L′(t)，对式(6)求导可得：

(8)

利用Hölder不等式和Young不等式可得：

(9)

(10)

(11)

将式(9)～式(11)代入式(8)中可得：

(12)

选择合适的μ,δ,η满足：

代入式(12)可得：

(13)

(14)

由式(5)、Poincaré不等式、Young不等式和max{2,β,m}≤α可得：

(15)

(16)

(17)

(18)

可得：

同理：

(19)

其中：c为广义常数；取α<θ

(20)

(21)

其中：r为一正常数。

上述估计意味着：

(22)

一方面，由Hölder不等式和α>2得：

这个不等式表示存在常数c>0，使得：

再利用Young不等式可得估计：

由式(5)、式(7)和式(18)可得估计：

(23)

故有：

(24)

另一方面，由h(x)、q(x)本性有界、Hölder不等式、α≥2及Poincaré不等式可得：

这意味着：

利用Young不等式可得：

将式(23)代入上式可得：

(25)

将式(24)、式(25)代入式(22)可得估计：

(26)

由式(21)和式(26)可得：

(27)

式(27)在(0,t)上积分可得：

(28)