广东省江门市新会第一中学(529100) 梁必文

1 教学背景

作为对标《普通高中数学课程标准(2017年版)》及新高考改革的需要,2019年6 月人民教育出版社课程教材研究所出版了万众期待的新一套高中数学教材,作为高中数学教师,面对新时代教育教学的挑战,弄懂参透课程标准,学好用好新教材成为迫在眉睫的头等大事.“对数的概念”一节是笔者于2020年11 月在广东省江门市普通高中数学新教材培训会上的展示课,是基于新课标新教材背景下的教学探索,得到教材主编在内的与会专家与同行的一致好评.本文着重介绍该节课的教学设计及意图,即利用详实的数学史教学为学生有效形成“对数”的概念,并且结合“对数”的具体数学应用价值,为学生的数学核心素养的提升奠定坚实的基础.通过本节课的学习使学生能够利用数学史的视角理解对数概念,利用逻辑推理的思考过程推导对数的性质,利用数学建模的途径在解决实际问题的过程中运用对数知识,希望能对高中数学教师在使用新教材时有所启发.

2 教学内容

2.1 教学范围与教材分析

“对数的概念”是2019年人教版必修第一册第四章第三小节第一课时的内容,它是学生学习了指数与指数函数之后,为进一步学习对数运算和对数函数打下基础.学习对数的概念是对指数与指数函数的复习和深化.通过本节课的学习,让学生掌握对数的概念及其性质,让学生在追溯人类研究对数的历史进程中感知体会转化与化归、对立统一的思想,学会用联系的观点辩证的分析和解决数学问题.

2.2 教学目标与核心素养

(1)帮助学生理解并掌握对数的概念,能进行指数式与对数式的互化,从而培养数学抽象素养.

(2)引导学生了解常用对数与自然对数的意义,推导对数性质及对数恒等式并能灵活运用于有关对数求值问题,进而培养逻辑推理与数学运算素养.

(3)通过数学史教学培养学生的数学学习兴趣,引导学生追寻数学大师的脚步,在仰望大师风采中培养数学建模素养.

3 教学重点与教学难点

重点对数的概念.难点 使学生了解对数概念的合理形成,并深刻理解对数概念.

4 教学过程与设计意图

4.1 数学史教学

在开展“对数的概念”一课的教学时,教师首先可在课前布置学生分组通过互联网收集下列有关资料:

(1)对数的创始人苏格兰数学家纳皮尔的有关资料.(2)对数发明的历史背景.(3)对数发明对科学界的影响.

然后在课堂的导入环节,教师可让各组派代表上台分享本组资料收集的成果.

通过对资料的收集整理后发现,随着16—17 世纪西方国家在天文、航海等领域的科学研究发展,数学的运算量不断扩大,改进运算方法以达到简化运算的目的成为了紧迫的数学研究需要.苏格兰数学家约翰·纳皮尔在天文学研究的过程中,为了实现简化大数运算而发明了对数,对于大数据运算的研究发展作出了巨大的贡献.恩格斯曾经将对数的发明、解析几何的始创、微积分的建立并称为17 世纪数学三大成就.伽利略也曾说过:“给我空间、时间及对数,我就可以创造一个宇宙! ”了解了本节课的学习背景之后,由教师为学生设置本课的探究提纲: 1.为什么要研究对数? 2.对数是什么? 3.学习了对数的概念之后该研究它的哪些方面?

设计意图: 通过学生分组合作学习,为学生解读“对数”概念的产生与发展历程.充分调动学生的学习热情和参与度,通过三个问题为主线,追寻大师的足迹,仰望大师的风采,充分发挥对数的育人功能.

4.2 问题导入

由教师提出以下数学运算问题,引导学生在不使用计算器的前提下,进行小组合作运算,并在各小组学生完成计算之后,去探究这些复杂的数学运算题是否还有简便的运算方法,鼓励学生各抒己见,勇敢表达自身想法,从而找到利用对数进行简化计算的途径.

例1.32×256=( ).例2.4096÷128=( ).

例3.163=( ).例4.=( ).

设计意图: 提出数学问题,让学生亲身经历大数运算过程,启发学生多角度去考虑问题,培养数学运算素养,感受大数运算所带来的困扰,引导学生通过问题思考,理解在大数简化运算中对数所起的作用.

4.3 新课探究

4.3.1 探究发现

阅读下列资料,回答问题: 1714年,德国数学家斯蒂菲尔研究了下面的两行数:

斯蒂菲尔发现了一个规律:f(n)=2n.

教师: 后来,苏格兰数学家纳皮尔发现了这个规律可以用来简便计算刚才的式子,同学们知道他是怎么做到的吗?

例1.32×256=25×28=25+8=213=8192.

例2.4096÷128=212÷27=212-7=25=32.

例3.163=(24)3=24×3=212=4096.

总结提炼: 把每一个正整数转化为2x,从而将整数的乘法、除法、乘方、开方转化为对应指数的加法、减法、乘法、除法.

4.3.2 变式思考

设问一: 运用以上的方法,可否计算132×156=?

设问二: 132 和156 能不能写成2x?

总结提炼: 利用函数y= 2x图象,通过数形结合可知方程2x=132 存在唯一的实数解.

4.3.3 解决问题

132×156=27.04×27.29=27.04+7.29=214.33=20592.

总结提炼: 将132,156 转化为2x的思路,将132 转化为27.04,将156 转化为27.29,从而根据表格中的数值,快速计算出132×156 的结果.

4.3.4 形成概念

一般地,如果ax=N(a ＞0,且a /= 1),那么数x叫做以a为底N的对数(logarithm),记作x= logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.

ax=N ⇔x= logaN(a ＞0,且a /= 1),其中N ＞0,即负数和零没有对数.

常用对数: 以10 为底的对数,即把log10N记作lgN.

自然对数: 以e 为底的对数,即把logeN记作lnN.

归纳性质:alogaN=N其中a ＞0,且a/=1.

4.3.5 概念辨析

根据对数的定义,判断对错:

(1)若3x=2,则x=log23;

(2)若(-2)3=-8,则log(-2)(-8)=3.

4.3.6 基础达标

根据对数的定义,计算: (1)log28; (2)log21; (3)loga1;(4)logaa.

归纳性质: (1)loga1=0;(2)logaa=1.

设计意图: 通过对于数学史的加工整理,引导学生见证对数概念的提出、发展过程,从实际问题到建立对数概念的体验中培养学生的数学建模素养,从具体到抽象的思维过程中培养学生的逻辑推理素养和数学抽象素养.

4.4 强化练习

例1.把下列指数式化为对数式,对数式化为指数式:

(1)54= 625; (2)2-6== 5.73; (4)=-4;(5)lg 0.01=-2;(6)ln 10=2.303.

例2.求下列各式中x的值:

(1)log64x=(2)logx8 = 6; (3)lg 100 =x; (4)-ln e2=x.

设计意图: 引导学生在学习了对数概念的基础上,通过利用对数的定义,强化对数式与指数式的互化意识,培养学生的逻辑推理素养和数学运算素养.

4.5 总结提升

4.5.1 提炼对数的意义

教师: 通过对于“对数的概念”内容的学习,同学们觉得为什么要研究对数?

学生A:通过研究对数能够有效缩小运算量,提升大数运算的效率.

学生B:研究对数可以利用对数的基本性质,对复杂的算式实现简化计算.

4.5.2 明确对数的本质

教师: 经过本节课程的学习,大家认为对数到底是什么呢?

学生: 对数是数的一种表示方法.

4.5.3 思考对数的用途

教师: 对数既然是数的一种表示方法,接下来我们该研究它的哪些方面?

学生: 利用对数的基本概念,研究对数的运算性质,提高运算效率.

设计意图: 带领学生总结“对数的概念”一课知识,促进学生对于对数知识的掌握,培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养.

4.6 课后作业

必做作业: 教材第123 页练习1,2,3;第126 页复习巩固1,2.

选做作业: 参考以下选题,查阅与对数有关的文献,写一篇数学小论文.

(1)对数产生的背景;(2)对数发明的过程;(3)对数的具体应用;(4)对数对简化运算的作用;(5)对数对人类文明进步的贡献.

5 教学反思

在本节课的教学过程中,本人课前布置学生收集有关对数的历史知识,使学生能够追寻大师的足迹了解到对数产生的背景.之后通过问题导入环节,为学生提出了能够利用对数知识进行简化运算的具体问题,使学生在问题的思考过程中了解了对数对于大数运算的意义.接下来我们利用新课探究的教学过程,为学生明确了对数知识的基础概念,使学生初步形成了对数运算能力.继而设置强化练习的教学环节,有效提升了学生的对数运算能力.最后回归到本节课开始所设置的探究提纲这一条主线,进一步巩固了学生对于“对数的概念”一课的知识掌握.

通过“对数的概念”一课的教学实践,有效地帮助学生认识到了对数产生的背景以及对数发明的过程,科学地发展了学生的数学建模、数学抽象、逻辑推理以及数学运算等核心素养.若是在教学的设计过程中,还能充分利用前面所学的指数与指数函数的知识,让学生对于指数与对数形成“休戚与共”的整体性理解与把握,必将提升学生对于数学概念的认知水平,为学生在今后研究某一数学对象的能力奠定更加坚实的基础.