王晓峰, 程 宏

（闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州363000）

国家“十三五”时期，积极寻求能源效率利用，大力推动节能降耗工作，节能减排工作取得了显著的成效，但要实现国际承诺的在2030年左右“碳达峰”“碳中和”的目标任务依然艰巨.为了顺利实现这个宏伟目标，要积极研究新型节能环保技术.纳米流体作为一种新型高效换热工质展现出良好的换热性能[1]，在车辆散热、航天器热控制、电子仪器设备热管理、生物医学、核能系统、制冷空调等领域具有十分广阔的应用前景[2-3].例如，宣益民[4]研究表明，在水中添加2%的Cu纳米粒子，相同条件下纳米流体的对流传热效率比水增大了约60%；Tharayil 等[5]发现在乙二醇中添加体积分数为0.3%的Cu 粒子，其导热效率比基液提高40%以上.王晓峰等[6-9]对纳米流体的传热问题进行了一系列数值研究，研究了三角形腔、梯形腔、方腔内纳米流体的传热问题，数值研究结果均表明增加纳米流体的体积分数能提升纳米流体的传热效率.

磁场作用对纳米流体的传热也会有一定的影响[10].郭永健[11]对磁场作用下磁性纳米流体的强化对流换热进行了实验研究，结果表明，磁场的加入使其换热性能系数增大，施加外磁场能够明显增强磁性纳米流体在管内的换热性能.齐美娜等[12]采用Chebyshev 配置点谱方法对磁场作用下方腔内纳米流体自然对流问题进行了数值模拟，结果表明纳米流体流动与传热受Gr 数影响比较显著.通过以上分析可以发现，大部分学者对磁性纳米流体传热的研究是基于实验室实验或者已有的数值方法，更多关注于纳米流体可显著提高流体导热系数的现象描述中，而对其提高纳米流体传热效率的合理解释较少.对倾斜方形腔内Cu-水纳米流体对流传热问题进行了研究，利用有限差分法对控制方程建立二阶精度的差分格式，为减少边界层对数值结果的影响，边界采用四阶精度离散，研究磁场作用对Cu-水纳米流体传热效率的影响.

1 数学模型的建立

所考虑的物理模型及计算区域如图1所示，倾斜方腔内充满Cu-水纳米流体，正方形方腔边长为L，左右壁面低温度为Tc，上下两个壁面绝热，方腔的倾斜角为γ，磁场强度为B0.

图1 物理模型及计算区域Fig.1 Physical model and calculation area

假定方腔内Cu-水纳米流体为各向同性、不可压缩的牛顿流体，不考虑黏性耗散和熵的影响，Cu纳米颗粒与水处于热平衡，表1给出水和Cu纳米颗粒的热物性参数[12].

表1 水与Cu的物性参数Tab.1 Physical properties of water and Cu

对应物理模型的无量纲控制方程[13]为

这里

Ra为瑞利数，Ha为哈特曼数，Ψ为流函数，T为温度函数，γ为倾斜角，ρ为密度，ϕ为纳米颗粒体积分数，下标s,f分别表示Cu纳米颗粒和水对应的物性参数下标，cp为比热容，κ为导热系数，σ为导电率.相应的边界条件为上边界Ψ= 0, ∂Ψ∂y= 0，∂T∂y= 0，下边界Ψ= 0, ∂Ψ∂y= 0，∂T∂y= 0，左边界Ψ= 0,∂Ψ∂x= 0，T= 1，右边界Ψ= 0,∂Ψ∂x= 0，T= 0，局部努塞尔数和平均努塞尔数分别表示为

2 有限差分格式

为建立式(1)-(2)的有限差分格式，将求解区域[0,1]×[0,1]进行均匀网格剖分，令xi=ih,yj=jh,h= 1/M,i,j=0,1,...,M,M为正整数.对于任意变量u，引入如下差分算子:

则可得式(1)-(2)的二阶精度差分格式为

由于四个边界上速度U= 0，故而在四个边界上对应的流函数Ψ= 0.对于时间边界的处理，左右边界T= 0，上下两个边界考虑如下四阶精度格式[13]:

3 数值模拟结果分析

本节主要讨论磁场作用下不同哈特曼数Ha、不同瑞利数Ra、不同倾斜角γ、不同纳米颗粒体积分数ϕ对Cu-水纳米流体传热效率的影响.首先，先进行网格独立性验证,确定网格节点取多大时平均努塞尔数保持不变,为此分别取如下参数Ra= 100，Ha= 10，γ= π 6，ϕ= 5%，分别采用如下八个步长h= 1 10,1 20,…,1 80 计算对应的Cu-水纳米流体平均努塞尔数, 所得结果如图2a).从图2 中可以看到，当采用h= 1 60 的计算网格时平均努塞尔数就不再明显变化，故而采用61× 61 的网格点进行计算，此时得到的流函数如图2b).

图2 网格无关性验证及流函数分布Fig.2 Grid independence validation and stream function distribution

采用61× 61 的计算网格来研究各种物性参数对Cu-水纳米流体传热效率的影响.表2 给出不同瑞利数下Cu-水纳米流体平均努塞尔数及其增长率，取Cu 纳米颗粒体积分数，Ha= 0,γ= π 6，取Ra=100,300,500，这里增长比例的计算公式为这里表示ϕ= 1%,2%,3%,4%,5%时纳米流体的平均努塞尔数，Nu*f表示ϕ= 0%时纳米流体(水)的平均努塞尔数.

从表2中可以看出,在固定Ha= 0,γ= π 6时，对于所考虑的瑞利数Ra= 100,300,500，提高Cu-水纳米颗粒的体积分数ϕ均可以使得Cu-水纳米流体平均努塞尔数增大，也即Cu-水纳米流体的传热效率也逐渐增强.比如，在Ra= 300 时，当Cu 纳米颗粒的体积分数从1%增加到5%，Cu-水纳米流体的平均努赛尔数从0.019%增加到0.399%，由此可以看到，加入纳米颗粒对纳米流体的传热效率起到积极的促进作用.

表2 不同瑞利数下纳米流体平均努塞尔数及其增长比例Tab.2 The average Nusselt number and its growth rate with different Rayleigh number

表3 给出不同哈特曼数Ha下Cu-水纳米流体平均努塞尔数，取Ra= 100,γ= 0,ϕ= 0% ∼5%.从表3中可以看出，当Ha= 1 时,增加Cu 纳米颗粒体积分数ϕ，纳米流体平均努塞尔数随之增强，但当Ha= 10和50时，随着纳米颗粒体积分数ϕ的增加，纳米流体平均努塞尔数略有减弱.另一方面，随着哈特曼数Ha的增加，相同的纳米颗粒的体积分数ϕ下Cu-水纳米流体平均努塞尔数有轻微的降低，比如在取定ϕ= 5%时，当哈特曼数Ha从1增加到50时，Cu-水纳米流体平均努塞尔数从0.486 65降到0.486 37.

表3 不同哈特曼数下纳米流体平均努塞尔数Tab.3 The average Nusselt number with different Hartmann number

图3 给出了不同倾斜角下Cu-水纳米流体所对应的流函数分布，这里取Ha= 10,Ra= 1000,ϕ= 5%，倾斜角取值从γ= 0 逐渐增加到到γ= π 2.从图3 中可以看出，倾斜角对方腔Cu-水纳米流体的传热具有明显的影响作用.计算得当γ= 0 时Ψmax= 0.057 46,当γ= π 6 时Ψmax= 0.095 23,当γ= π 4 时Ψmax=0.142 38,当γ= π 2 时Ψmax= 0.338 57,可以看到随着倾斜角的增加流函数最大值都随之增加，对应的温度函数最大值如表4.

图3 不同倾斜角下纳米流体流函数分布Fig.3 Stream function distribution of nanofluid under different inclination angles

从表4可以看出，随着倾斜角的增加，Cu-水纳米流体温度函数最大值也逐渐增加.

表4 不同倾斜角下纳米流体温度函数最大值Tab.4 The maximum value of the temperature function of the nanofluid under different inclination angles

4 结论

对磁场作用下倾斜方腔体内Cu-水纳米流体的传热问题建立了二阶精度差分算法，研究了Cu-水纳米流体体积分数、方腔倾斜角、哈特曼数、瑞利数对纳米流体传热效率的影响.数值模拟结果表明，当取瑞利数从100增加到500时提高纳米流体的体积分数可以提高Cu-水纳米流体的传热效率，且在方腔倾斜角从γ= 0到γ= π 2时纳米流体对应的流函数和温度函数最大值也随之增加，当γ= π 2时传热效率最高.