一、类比铺垫

师：看到今天学习的课题，你有什么想法？

生1：什么是一元二次方程？

生2：一元二次方程与前面学过的一元一次方程有什么联系与区别？

生3：一元二次方程怎么解？

生4：一元二次方程在生活中有哪些应用？

……

师：那么今天这节课，我们主要研究一元二次方程的什么呢？

生：一元二次方程的定义！

启示：通过一元一次方程的知识结构，学生类比产生一元二次方程的知识结构，旨在培养学生的结构化思维和有序性思考能力。学生有了探究和接受新知的思维新基点，激发了进一步探究的热情。

师：什么是一元一次方程？

生5：在一个方程中，只含有一个未知数，且未知数的指数都是1，这样的整式方程叫作一元一次方程。

师：请提炼一元一次方程定义中的核心要素。

生6：①一元；②一次；③整式。

师：一元一次方程的一般形式是什么？

生7：ax+b=0（a、b为常数，且a≠0）。

师：这里a、b为常数不难理解，那为什么要有a≠0呢？

生7：当a=0时，这个方程就不是一元一次方程了！

启示：这里看似平淡无奇的教学，却有着很深的用意，特别是“提炼一元一次方程定义中的核心要素”：①一元、②一次、③整式，为学生给一元二次方程下定义打下铺垫。

二、自觉体悟

例1 根据题意列方程：如图（本文图略），长方形花圃一面靠墙，另外三面所围成栅栏的总长度是19m，如果花圃的面积为24m2，花圃的宽为xm，则可得方程：_______________。

生：可以用“栅栏的总长度是19m”这个等量关系推得与墙平行的一边的长为（19-2x）m。可用另一个等量关系列出方程为：x（19-2x）=24。

师：请同学们独立完成以下问题，根据题意列方程。

（1）两个连续整数的平方和等于145，求其中较小的数。（设较小的数为n）

（2）小亮、小明、小刚三个人中，小亮的年龄比小明的年龄小7岁，小刚的年龄比小明的年龄大5岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是160，你知道这三个人的年龄各是多少岁吗？（设小明的年龄为y岁）

（3）如图（本文图略），在长40m、宽22m的长方形地面内，四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积达到760m2，道路的宽应为多少呢？（设道路的宽为xm）

启示：设计此环节主要是让学生在潜意识中明白一元二次方程在生活中有很多应用，是解决相关问题的重要模型与工具，学好一元二次方程有很大的必要性。此处没有完全采用教材的体例，主要是为了引导学生归纳。这里运用的是从一般到特殊的教学方法。同时，每道问题给出了统一的“设元”，是为了让学生得到关于同一个未知数的方程，便于互动交流的“统一性”。

师：同学们，现在我们得到四个方程，分别是：x（19-2x）=24、n2+（n+1）2=145、（y-7）·（y+5）=160、（40-2x）·（22-2x）=760。现在老师将方程x·（19-2x）=24进行变形。同学们，请猜想我们将这个方程进行变形的思路是什么呢？

生8：等号左边利用单项式乘多项式的法则展开，变为19x-2x2=24。

师：不仅如此，我们还要将等号右边的数和式全部移到等号的左边，即等号右边化为0。这样，我们得到了什么样的方程呢？

生9：19x-2x2-24=0。

师：你们看到等号左边的代数式还有什么想法吗？

生10：可以按未知数的次数进行降幂或升幂排列。

师：对！我们通常按降幂排列，其结果将方程变形成什么样的方程呢？

生11：-2x2+19x-24=0。

师：通常我们还会将最高项的系数都化为正数。在这个方程中，我们该如何将最高项系数化为正数呢？

生12：两边同时乘-1，得2x2-19x+24=0。

师：请同学们归纳刚才将方程变形的步骤，它们分别有哪些？

生13：（1）将能展开的各项全部展开；（2）将等号右边的各项全部移到等号左边；（3）合并同类项；（4）按未知数的次数降幂排列；（5）最高项系数转化为正数。

师：现在请同学们依照刚才的变形过程，将另外三个方程进行变形和整理。

生13：n2+n-72=0、y2-2y-195=0、x2-31x+30=0。

启示：指导学生经历化归成一元二次方程的过程，是为了揭示一元二次方程的本质，归纳一元二次方程的一般形式，为今后求一元二次方程的根（如用求根公式求根）服务，丰富学习与活动经验。

三、自主建构

师：通过变形，我们得到四个方程——2x2-19x+24=0、n2+n-72=0、y2-2y-195=0和x2-31x+30=0，这些方程有哪些共同特征？你们能用核心词语进行归纳吗？

生14：①一元；②二次；③整式。

师：你们能给它们取一个名字吗？

生14：一元二次方程。

师：你能给一元二次方程下个定义吗？给它下定义时，你有什么想法？

生15：类比一元一次方程的定义。

生16：只含有1个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫作一元二次方程。

启示：学生通过结构化提炼发现这类方程的核心要素（①一元、②二次、③整式），从而更深刻地发现一元一次方程与此类方程的异同，给一元二次方程命名和下定义都能做到水到渠成，让新知能在学生原有的知能结构中“自然分娩”。

数学素养教育不只是教解题技巧，更是教学会思考，重在提升学生的思维品质。教学中需要我们能够创造性地使用教材，解决好“突出重点”“突破难点”和“处理生成点”这些常规问题，让学生的数学学习变得有趣味、有活力、有情境、有挑战，把核心学习过程还给学生，让学生在类比性生成中学会自觉建构。