苏有马 刘祖希

【摘 要】沪教版高中数学新教材习题的主要特点有：重视学生的数学学习基础水平，调低学习起点，题目编排具有基础性与拓展性，教材习题整体难度有所提高;重视整体性，逐层递进，呈螺旋式上升;重视回归数学本真，落实数学核心素养。根据问卷调查，研究者分析影响沪教版高中数学新教材习题使用的若干因素，并给出习题设计和习题教学的建议。

【关键词】沪教版;高中数学;新教材;习题教学

【作者简介】苏有马，上海师范大学附属外国语中学数学教研组组长，高级教师，新青年数学教师工作室上海教研基地学员，主要从事高中数学教学研究;刘祖希，华东师范大学出版社副编审，新青年数学教师工作室创始人，主要从事数学教育研究。

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，习题是教材的重要组成部分，要提高习题的有效性，科学、准确地把握习题的容量、难度，防止“题海战术”，应开发一些具有应用性、开放性、探究性的问题，解决这样的问题有助于学生数学学科核心素养的提升。习题是课堂教学内容的巩固和深化，为发展学生数学学科核心素养提供平台。教师既要重视习题编写的针对性，也要重视习题编排的整体性。例如，编写练习题要关注习题的层次性，由浅入深，帮助学生在掌握知识技能的同时，进一步感悟数学的基本思想，积累数学思维的经验;编写思考题要关注情境和问题的创设，有利于学生理解数学知识的本质，提升数学学科核心素养;编写复习题要关注单元知识的系统性，帮助学生理解数学的结构，提高复习的有效性，达到相应单元的“学业要求”，还要关注数学内容主线之间的关联以及六个数学学科核心素养之间的协调，有利于学生整体理解、系统掌握学过的数学内容，实现学业质量的相应要求。[1]

据此，本文通过对沪教版高中数学新旧教材习题的比较和分析，充分认识新教材习题的设计（选材及形式）、功能及价值取向，准确把握习题教学与日常教学的关系，进一步理解和领会新课标的理念。本文还结合问卷调查，分析影响新教材习题使用的若干因素，并给出习题设计和习题教学的建议。

一、沪教版高中数学新教材习题的特点分析

（一）新旧教材习题的比较

2020年出版并投入使用的沪教版高中数学新教材必修第一册中配有练习题、习题、复习题。其中，各章的每节分成若干小单元，每个小单元根据教学内容配有例题，帮助学生理解和应用所学知识及方法，例题之后有两至三道基础的练习题，力求体现数学教学是概念教学，不能简单地用解题代替。每节的习题进行了分层设计，分为A、B两组。A组习题属于基础题，便于学生课后巩固;B组习题属于综合题，关于参数的理解与考查较多，有利于培养学生分析问题、解决问题的能力。各章的复习题也进行了分层设计，分为A组、B组和“拓展与思考”三个层次，是对整章的检测，比每节习题的要求更高。其中“拓展与思考”对学生的数学阅读、数学理解、数学表达、数学创新能力提出了较高要求[2-3]。另外，“数学建模”内容单独成为必修第四册教材。

沪教版高中数学新教材是自20世纪80年代末以来，首次直接根据《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写;过去30年（即上海的“一期课改”和“二期课改”阶段），沪教版高中数学教材主要依据上海市的数学课程标准编写[3]。

2004年出版并投入使用的上海“二期课改”高中数学旧教材高一年级第一学期（试用本）中配有练习题、习题、复习题。其中，练习题以复习和巩固相应小节的教学内容为主，供课堂练习用;习题和复习题则与教材分开、单独成册（即一本书）。每节都配有习题，分为A、B两组，供课内和课外作业选用。每章配有复习题，也分为A、B两组，供复习全章使用，A组题属于基础题，B组题带有一定的综合性和灵活性，难度略有提高[4-5]。

经过统计，沪教版高中数学新教材必修第一册一共有390道习题，另外还安排了5个“课后阅读”和2个“探究与实践课题”;沪教版高中数学旧教材高一年级第一学期共有375道习题，另外还安排了3个“阅读材料”和3个“探究与实践课题”。沪教版高中数学新旧教材习题分类统计见表1。

从表1可以看出，新旧教材习题量大致相当，阅读材料和探究类课题数量也大致相当，但新教材课堂练习题的数量减少了约12 ，B组习题的数量增加了约22 ，还增加了14道拓展与思考类习题。

（二）新教材习题的特点分析

1.调低学习起点，提高教材习题难度

新课标要求，高中数学课程应面向全体学生，实现人人都能获得良好的数学教育，使不同的人在数学上得到不同的发展。必修课程面向全体学生，构建共同基础。高中数学课程为学生的可持续发展和终身学习创造条件。新教材从过程与方法来看，强调由教师的“教”向学生的“学”转变;从情感态度与价值观来看，注重人文关怀，强调习题的层次性，关注每个学生的个性化发展。

沪教版新教材的编写关注初、高中衔接，重视学生的数学学习基础水平。比如在第1章中选取的习题涉及的数学知识都比较简单，降低了学生学习的起点，有助于激发学生学习数学的热情。又如第2章从等式的性质入手，接近学生“最近发展区”，详细介绍了高中常用的韦达定理;第2章的第2节“不等式的求解”从“一元一次不等式的求解”起步;第3章从“指数幂的拓展”起步……以上例题、习题设计均体现了教材编写者的良苦用心。

沪教版新教材对每节的习题和各章的復习题都进行了分层设计，分为A、B两组，每组习题自成体系，按照教材内容前后顺序编排，由浅入深，具有层次性。习题和复习题的B组题目大多含有字母参数，拓展性、综合性较强，整体难度有所提高。比如第2章习题2.1的B组第9题是由生活情境建立不等式并加以证明的经典不等式模型——“糖水不等式”。第2章复习题的“拓展与思考”第4题旨在引导学生利用分类讨论的方法求解三次不等式，用数轴标根法直接求解高次不等式则在第5章中加以补充。以上教材编写的目的主要是帮助有兴趣、有潜力的学生提升思维能力，提高数学核心素养。

2.重视整体性，逐层递进，呈螺旋式上升

沪教版新教材的习题编写重视一惯性和整体性，重视知识与方法的前后逻辑关系，重视难点的分解，重视学生数学能力和素养的螺旋式上升。

比如新教材第2章中的“一元二次不等式的求解”一节，只是从“数”的角度进行求解，与初中所学知识保持思想方法的统一。这有利于初、高中自然衔接，并突出不等式性质，加强代数运算，为学生今后用代数观点处理其他不等式做思想方法上的准备。

第2章复习题“拓展与思考”的第4题则出现了一元高次不等式求解，对从数的角度求解不等式提出更高要求。在第5章“用函数观点求解方程与不等式”一节中又用一张表给出了“形”的解释。前后呼应，相得益彰，数形结合等数学思想显性化。

新教材习题还重视知识的铺垫，帮助学生多角度认识同一个数学知识点。比如新教材第2章“三角不等式”一节，只要求学生从绝对值的“数”的角度对三角不等式有个初步的认识，至于几何意义，在后续的向量和复数学习中再让学生进一步体会。

3.回归数学本真，落实数学核心素养

（1）新教材选取的例题力图呈现概念本质，突出教学重心

新教材新授课例题设置一般以实现理解概念，应用概念为目的，例题教学体现数学概念的内涵和外延。比如新教材第1章“集合的运算”一节内容涵盖了旧教材三节的内容，而且选取的例题9～12重在考查学生对集合交、并、补运算定义的理解，至于集合运算能力的培养则在后续的学习再进行加深和巩固。再比如新教材第1章“充分条件与必要条件”这一节，例题重视充分性和必要性证明的格式。

（2）新教材习题帮助学生多一些“理解和体验”，少一点“告诉和记忆”

新教材中很多例题、习题都有深刻的数学背景，其本身就是一个重要的结论或定理。对这些结论，新教材并没有像旧教材那样以黑体字的形式突出，而是以具体问题呈现，避免让学生先入为主，死记硬背。

比如新教材第1章“集合的运算”一节中，例12意在介绍德·摩根定律，课后练习1.1（4）第3题则想通过该题让学生体验并集和交集之间的分配律;本章复习题B组第3题的背景是集合的容斥原理。

又如新教材第2章“不等式的性质”这一节，在介绍了不等式3个基本性质之后，以6道例题的形式引出了不等式的另外6个常用性质。学生在学习结论的同时体验了不等式证明的基本方法。

当然，为了便于学生学习，新教材在每章最后的“内容提要”部分对重要的概念、性质、结论进行汇总，让学生明确哪些结论可以直接使用。

二、沪教版高中数学新教材习题使用的问题分析

（一）新教材习题使用情况调查

为了解沪教版新教材习题的使用情况，笔者选取了上海市6所高中的32位数学教师和85名学生进行了抽样问卷调查和个人访谈，其中包括市重点高中2所、区重点高中2所、普通高中2所。

调查显示，虽然65.6 的教师认为新教材习题比旧教材质量高、题型新颖、内容丰富，并且有68.8 的教师选择部分习题或者复习题作为课堂使用，但61.4 的教师并没有把习题作为课时作业要求学生上交并批改。68.8 的教师对于新教材“探究与实践”“拓展与思考”两个模块内容，只是选择部分内容使用。教师普遍表示，对于即将实施的必修四教材——《数学建模》比较担忧，不知如何开展教学。

（二）新教材习题使用问题归因分析

1.各类习题之间的适配度不够明显，不便于学生完成课后巩固

新教材的习题、复习题以章、节为单位呈现，虽然具有整体性和层次性，但在日常教学中布置作业还要进行分割，加上部分习题的综合性较强，有些习题只能学完整节（章）后才能做，有些习题对于大多数学生来说难度太大，不便于作为课时作业使用。

每个小单元的例题、课后练习均属于基础题，但每节的习题（特别是B组习题）综合性较强。经调查发现，不少学生认为例题容易、习题难，学完例题不会做课后的习题;教材有的知识内容没有相应的习题进行巩固，而部分习题又用到一些没有学过的知识。

另外，新教材编写者既要考虑降低例题的量和难度，又要考虑知识与方法的完整性，所以在习题和复习题中出现了一些具有深厚数学背景的题目，但作为高中数学初学者往往无法独立完成。

2.學生收交和教师批改不方便

因为新教材习题、复习题是附在每节、每章后面，如果作为作业，要求学生课后完成的话，要么让学生在课本上完成，教师把整本书收上来批改;要么让学生把习题抄到作业本上完成，教师批改作业本。前者带来的问题是收交、批改不方便，会影响学生的课前预习和课后复习;后者则会加重学生的负担。为了减轻学生负担，有的学校教师花费大量时间把习题输入电脑，再打印出来分发给学生，作为每天的课时作业。

3.教学评价方式的影响

“课后阅读”“探究与实践”栏目，以及单独成册的《数学建模》教材，是新教材习题改革的一大亮点，但也是大多数一线教师最不愿意花时间研究的一类教学素材。导致这一现象出现的主要原因是现行的教学评价方式。由于当前教学评价仍然以笔试为主，试题多为答案唯一的封闭性问题，这使得很多教师认为探究性、实践性、开放性习题对于提高学生数学成绩没有太大帮助，且这些习题计算量大、耗时多，得不偿失。当前，教育部已经提出，要深化考试内容改革，要优化情境设计，增强试题的开放性、灵活性，充分发挥高考命题的育人功能和积极导向作用，引导师生减少死记硬背和“机械刷题”的现象，因此，希望评价方式的变革能促进新教材的实施。

4.现行学校管理方式的影响

影响探究性、实践性、开放性习题使用的另一个原因是学校的管理方式。这类习题的活动方式多是调查、参观、上网查阅资料等，提倡学生走出校门、走进社会。但真正组织学生开展校外活动，学校和教师都负有一定的安全责任。对于网络的使用，为防止学生上网聊天、玩游戏等，很多学校和家长也不允许学生在学习期间上网，这就使得学生学习期间上网查资料成为不可能事件。

三、沪教版高中数学新教材习题教学的建议

（一）对新教材习题设计的建议

1.适当调整习题的内容和难度，实施分层作业，满足学生的差异性学习需要

在调查过程中，不少教师反映教材习题、复习题的难易程度与教材例题不尽匹配，教材的某些习题难度与例题的差异过大，这从某种程度上挫伤了学生学习数学的积极性。作为课堂练习，习题应突出对数学基础知识和基本技能的巩固，要和例题形成配套或者是例题的变式训练;作为课时作业，习题中不能出现后面才能学到的知识，涉及整节课的多个知识点、综合性强的习题应安排在本节练习的最后。建议针对不同学生分层布置作业，也允许针对同一学生布置分层作业。

2.调整习题呈现顺序，改进习题编制方式，增强习题的针对性

建议以课时为单位，按一定的逻辑顺序和学习规律编排习题，改变现有的以章节为单位的呈现方式，并保持课时之间习题量的基本均衡。参照旧教材的办法，将习题全部从教材中分离出来单独编制成册，以方便使用。

（二）对新教材习题教学的建议

1.挖掘新教材习题的指导价值，重视训练体系的整体设计

教学中应结合所在学校的情况，充分领会新课标的精神，认真研究新教材的习题，并对其进行整合，建立一套具有校本特色的训练体系。有的学校教研组组织教师对新教材的习题和复习题进行拆分编辑，做成每天的课时作业单，还对新教材习题进行改造，设计成变式训练，都是不错的尝试。

2.重视教材习题的情境创设和问题设计，落实数学建模核心素养

数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养。数学模型搭建了数学与外部世界联系的桥梁，是数学应用的重要形式。数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力。

沪教版新教材将数学建模内容单独成册，其目的是体现对数学建模的重视，但同时也可能使数学建模与日常教学割裂开来，反而会削弱数学建模的重要地位。教师在每册教材的教学活动中，都应结合教学任务及其蕴含的数学学科核心素养设计合适的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题。即通过创设合适的学习任务、学习情境、学习活动等，把数学建模核心素养的养成渗透到日常教学中。

3.转换育人方式，实现评价形式多样性

本轮课程改革是一场育人方式的改革。虽然当前教育评价仍然以笔试为主，但课程改革必然带来高考评价方式的变革，教学评价也必将是多元化的。多元化是指除了傳统的书面测验，还可以采用课堂观察、口头测验、开放式活动中的表现、课内外作业等评价形式。

在过程评价中，教师还要注意利用大数据记录、保留和分析学生在不同时期的学习表现和学业成绩，利用大数据平台建立每个学生的数学学习档案和个性化错题本。跟踪学生的学习进程，通过过程评价使学生感受成长的快乐，激发其数学学习的积极性。基于数学学科核心素养的教学，在形成性评价的过程中，教师不仅要关注学生对知识技能掌握的程度，还要关注学生的思维过程，判断学生是否会用数学的眼光观察世界，是否会用数学的思维思考世界，是否会用数学的语言表达世界。

4.重视数学文化、数学阅读、数学表达，激发学生学习数学的自信心和兴趣

高中数学课程目标之一是通过高中数学课程的学习，学生能提高学习数学的兴趣，增强学好数学的自信心，养成良好的数学学习习惯，发展自主学习的能力;树立敢于质疑、善于思考、严谨求实的科学精神;不断提高实践能力，提升创新意识;认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值。

新教材中的习题比较重视学生的数学文化（特别是中国传统文化中的数学元素）的熏陶、数学阅读能力的培养。教师应结合学生实际，充分利用教材的“课后阅读”栏目，挖掘习题中的数学文化，让学生以阅读形式进行学习。在教学中，教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养。将数学文化融入教学，还有利于激发学生的数学学习兴趣，让学生进一步理解数学，开阔学生视野，提升数学学科核心素养。

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]李大潜，王建磐.普通高中教科书·数学（必修第一册）[M].上海：上海教育出版社，2020.

[3]刘祖希，苏有马.沪教版高中数学新教材特点介绍：以必修第一册为例[J].中学数学杂志，2020（11）：6-10.

[4]袁震东，赵小平.高级中学课本·数学·高中一年级第一学期（试用本）[M].上海：上海教育出版社，2004.

[5]刘祖希.上海市“二期课改”高中数学课程教材简介[J].中学数学教学参考（上旬），2013（8）：5-7.

（责任编辑：陆顺演）