赵 莹， 孙桂荣

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

1 引言及主要结果

假设读者熟悉亚纯函数Nevanlinna 值分布理论的基本内容和相关符号[1-3]。 特别地，ρ（f）表示整函数f（z）的级，当ρ（f）＜∞时，称f（z）为有穷级整函数。

在复域微分方程方面，有很多学者研究了微分方程解的增长性、零点分布等[4-5]，而Eremenkot[6]发现周期性对Kuramoto Sivashinsky 方程的亚纯函数解表示有重要作用。这些都说明研究亚纯函数的周期性问题具有重要意义。然而，针对熟知亚纯函数与整函数之间的关系，笔者主要研究的是整函数的周期性。1978 年，日本学家Ozawa[7]就证明了存在大量周期整函数。

众所周知，任何以c 为周期的周期整函数f（z）都可以写成一个处处收敛的级数

Baker[8]证明了如果f（z）是一个非常数的整函数，而p（z）是一个多项式，且deg p（z）≥3，那么f（p（z））不是周期函数。 最近，关于整函数的周期性问题，有部分学者围绕着杨重骏提出的一个猜想进行了研究。

猜想1[9]假设f（z）是超越整函数，对某个正整数k，如果f（z）f（k）（z）是周期函数，则f（z）也为周期函数。

2018 年，王培和扈培础[9]证明了k=1 时猜想是正确的。

定理1 假设f（z）是超越整函数，对某个正整数k，如果（f2（z））（k）是周期函数，则f（z）也是周期函数。

随后，刘凯等人[10]研究了当f（z）有非零Picard 例外值时，猜想1 是正确的。

定理2 假设f（z）是超越整函数，d≠0 是f（z）的一个Picard 例外值，对某个正整数k，如果f（z）f（k）（z）是周期函数，则f（z）也为周期函数。

思考 猜想1 中研究的整函数f（z）f（k）（z）的形式与Hayman 猜想的其中一种形式f（k）（z）fn（z）相似，能在一定条件下得到f（z）是周期函数，故笔者想到Hayman 猜想的另一种形式f′（z）-afn（z），那么在一定条件下，是否也能推出f（z）是周期函数呢？……