王 正， 黄志刚

（苏州科技大学 数学科学学院，江苏 苏州 215009）

1 引言及主要结果

在该文中，假定读者熟知Nevanlinna 理论以及复方程理论中的标准记号和基本内容[1-2]，下面介绍一些常用符号的定义。 设0＜α＜β＜2π，则复平面上的扇形定义为

此处n（Ω（θ-ε，θ+ε，r），f=0）表示f 在Ω（θ-ε，θ+ε，r）上零点的数量。

1919 年，Julia 由Picard 定理提出了Julia 方向的相关内容，并开始了亚纯函数奇异方向的研究，他证明了每一个超越整函数至少有一个Julia 方向。 而Valiron[3]根据Borel 定理，提出来Borel 方向的相关概念。

定义1 设f（z）是一个级为ρ 的超越亚纯函数，若对于∀ε＞0，λθ，ε（f-a）=ρ 在C∪∞上至多有两个例外值a，则称射线arg z=θ 为f 的一个Borel 方向。

自此，关于亚纯函数Borel 方向的研究在近一个世纪里迎来较大发展。2005 年，伍胜健[4]首次研究二阶线性微分方程解的Borel 方向的问题。 这类方程的一般形式为

其中A（z），B（z）和F（z）都是整函数。 2015 年，黄志刚等人[5]研究了该方程的解与自由项F（z）的Borel 方向之间的关系，同时也研究了齐次方程f″+B（z）f′+A（z）f=0 的解在ρθ＝∞时的θ 集合的测度问题，下面对这些定理的内容进行简要叙述。

定理A 设A（z），B（z）为有限级整函数，F（z）为超越整函数并且max{ρ（A），ρ（B）}＜ρ（F）=∞，若arg z=θ是F 的Borel 方向，则它也是方程f″+B（z）f′+A（z）f=F 的每一个非平凡解的Borel 方向。

定理B 设A（z），B（z）为整函数且μ（A）＞ρ（B），若f（z）是方程f″+B（z）f′+A（z）f=0 的一个非平凡解，则mesI（f）≥min{2π，π/μ（A）}，其中I（f）={θ∈[0，2π）:ρθ（f）＝∞}。

文中将考虑高阶微分方程，将定理A 和定理B 推广至一般形式，并在定理B 推广形式的基础上，证明了f 的Borel 方向的测度也有类似的范围。

定理1 设A0，A1，…，An-1为有限级整函数，F（z）为超越整函数且max{ρ(A0)，ρ(A1)，…，ρ(An-1)}＜ρ（F）=∞，f（z）是方程

的一个非平凡解，若arg z=θ 是F 的Borel 方向，则它也是f 的Borel 方向。

定理2 设A0，A1，…，An-1为整函数且μ（A0）＞max{ρ（A1），ρ（A2），…，ρ（An）}，若f（z）是方程

的一个非平凡解，则mesM（f）≥min{2π，π/μ（A）}，其中M（f）为f 的Borel 方向集合。……