王嘉航， 顾 玲， 翟相华

（1.苏州科技大学 土木工程学院，江苏 苏州 215011；2.河海大学 土木与交通学院，江苏 南京 210098）

梯度系统是一类数学系统，是微分方程和动力系统中的重要部分。 如果一个力学系统能够成为梯度系统，那么就可以利用梯度系统的性质来研究力学系统的行为，特别是稳定性问题[1]。 约束力学系统的梯度表示及其稳定性分析研究已经取得了一定的重要成果[2-11]，但这些研究成果大多是针对整数阶模型的。 在实际应用中，相比整数阶模型而言，分数阶模型往往更为合适，如在粘弹性流体力学、量子力学、统计力学、砂岩力学等性质研究时往往需要用到分数阶微分方程[12]。 近年来，分数维研究逐渐成为了物理、力学以及数学等领域的热点研究问题。文献[13]指出任意阶α≠1（包括α 为整数）的分数维梯度系统都可称之为分数维的。关于Birkhoff 系统、非自治Birkhoff 系统、弱非完整系统以及完整系统的分数维梯度表示已有相关研究结果[14-18]。笔者进一步研究准坐标下完整系统、相对运动动力学系统和变质量完整系统这三类系统的二阶分数维梯度表示，并利用分数维梯度系统的性质研究系统的稳定性问题，最后举例说明结果的应用。

1 准坐标下完整系统的分数维梯度表示及其稳定性分析

1.1 系统的运动微分方程

系统的运动微分方程可以表示为[2]

其中L*为用准速度表示的Lagrange 函数，有

对准坐标πs的偏导数定义为

其中Ps*为用准速度表示的非势广义力，有

设系统非奇异……