张巍巍，时晨光，周建江，严俊坤

（1.南京航空航天大学雷达成像与微波光子技术教育部重点实验室，南京 210016； 2.西安电子科技大学雷达信号处理国家重点实验室，西安 710071）

1 引 言

随着网络技术的快速发展，传统的单站雷达已经很难满足现代战争对体系化作战的需求[1]。与传统的单站雷达相比，组网雷达具有波形分集和空间分集的优势，很大程度上提升了目标搜索、探测、跟踪和定位性能，因而受到众多科学研究人员和工程应用人员的高度关注[2-5]。在雷达组网过程中，除了要解决整个组网系统的雷达功能和通信功能的时序问题[6]、电磁兼容问题，还要重点解决各部雷达辐射资源的管理问题。目前辐射资源管理已成为组网雷达领域中的一个研究热点，相关研究工作主要集中在提高组网雷达系统的资源利用效率[7-9]和提升己方的射频隐身性能[10-14]方面。

针对辐射资源管理的研究，通常以完成既定的任务为约束，对雷达辐射的功率、带宽和驻留时间等资源进行优化分配。但是，具体到目标跟踪方面的辐射资源管理问题，则以达到既定的跟踪精度为约束。例如Shi 等[15]利用贝叶斯克拉默-拉奥下界表征跟踪精度，对分布式组网雷达系统的功率和带宽进行联合优化分配，使系统功率最小化，以达到降低截获概率的目的。同样，Yan等[16]利用贝叶斯克拉默-拉奥下界表征跟踪精度，对功率和检测门限进行优化，最小化系统辐射总功率。上述文献均以贝叶斯克拉默-拉奥下界表征目标跟踪精度，且贝叶斯克拉默-拉奥表达式表明其与系统辐射功率、信号带宽及组网雷达的数量密切相关。然而，上述研究却未给出波形对跟踪精度的影响。

后来，Yang 等[17]从信息论角度出发，证明了最大化目标冲击响应与目标回波之间的互信息等价于最小化目标位置估计的最小均方误差。从互信息的表达式中可以明显看出其与发射波形有关。因此，在执行跟踪任务时，波形优化可以用互信息衡量跟踪精度，同时作为任务的执行质量约束。早期Bell[18]提出通过优化波形最大化目标冲击响应和目标回波之间的互信息。随后，Leshem 等[19]将其推广到多目标，在此基础上，文献[20]研究多发多收雷达波形优化及滤波器设计问题。2017年，孙从易等[21]以雷达的信噪比和总辐射能量作为约束条件，根据目标和噪声先验信息，最大化接收回波与目标间的互信息进行波形设计。2016年，安许等[22]则从雷达回波波形和目标脉冲响应出发，通过最小化脉冲响应均方误差和最大化雷达回波波形与目标脉冲响应互信息提高目标的检测性能。2018年，Shi 等[23]针对分布式MIMO 波形进行设计，在存在通信信号干扰的情况下，优化各雷达的发射波形，最小化系统辐射功率，进而提升了射频隐身性能。

上述研究成果提出了基于互信息的组网雷达功率分配策略，在保证探测和跟踪任务完成质量的情况下，有效降低了组网雷达系统的功耗。但这些工作的研究对象要么是分布式MIMO 对单目标，要么是单站雷达对多目标，几乎没有涉及分布式组网雷达对多个目标。为了弥补这一空缺，本文将针对分布式组网雷达对多目标跟踪的波形设计问题进行研究。由于硬件资源的限制，每部雷达所能发射的最大波束数是有限的。因此，在考虑分布式组网雷达跟踪多目标时，除了对发射波形进行优化，还应对波束选择进行优化。鉴于此，本文针对多目标跟踪的情况，提出了一种面向射频隐身的组网雷达多目标跟踪波形优化设计方法。旨在满足一定跟踪精度的条件下，将对波束选择和波形进行联合优化，最小化组网雷达系统的总辐射能量，提高分布式组网雷达的射频隐身性能。本文首先推导了表征目标跟踪性能的互信息数学解析表达式；同时，以给定的多目标跟book=55,ebook=57踪性能和系统射频资源为约束，以最小化组网雷达系统的总辐射能量为优化目标，建立面向射频隐身的组网雷达多目标跟踪波形优化设计模型；其次，采用拉格朗日乘子法结合标准粒子群算法求解上述模型；最后，通过仿真结果验证了本文所提波形设计方法的正确性和有效性。

2 系统模型

2.1 信号模型

本文考虑一个部署在二维平面内的分布式组网雷达系统，其由Nt部单站雷达组成，位置的坐标分别为(xl,yl),l=1,2,…,Nt。此外，该二维平面上还有Q个扩展目标，分别位于(xq,yq),q= 1,2,… ,Q。在组网雷达对目标的跟踪过程中，第l部雷达接收到的第q个扩展目标散射的雷达回波可以表示为

其中，*表示卷积，hl,q(t)表示第q个扩展目标相对于第l部雷达的脉冲响应，slT,q(t)是组网雷达的第l部雷达发射用于跟踪第q个扩展目标的信号，cl,q(t)和nl(t)分别表示组网雷达的第l部雷达的杂波响应和加性高斯白噪声，Lr,l,q表示从组网雷达的第l部雷达到q目标的路径传播损耗，可用下式表示：

其中，Gt,l和Gr,l分别表示第l部雷达天线的发射和接收增益，λl表示第l部雷达发射信号的中心波长，表示第l部雷达和第q个目标之间的距离。接收的回波信号经过匹配滤波后可以表示为

其中，rl,q(t)为第l部雷达发射信号所对应的匹配滤波器的冲激响应，分别表示滤波后的信号分量和噪声分量。

2.2 系统互信息

最大化目标冲击响应和目标回波之间的互信息等价于最小化目标位置估计的最小均方误差，因此本文将其应用于目标跟踪性能的评估。为了方便，我们用傅里叶变换将式(3)变换到频域，将卷积转化为传统的乘积运算：

根据文献[19]，第q个目标的互信息由下式给出：

其中，ul,q∈{0,1}是一个二值化变量，表示第q个目标是否被组网雷达中的第l部雷达的波束所照射；Ty,l和(BW)l分别表示回波持续时间和回波的信号带宽。为简洁起见，假设Ty=Ty,l( ∀l)，则式(5)可以重写为

从式(6)可以看出，互信息与发射波形、目标冲激响应功率谱密度（PSD）、杂波响应和噪声功率谱密度密切相关。

book=56,ebook=58

2.3 优化模型

为了提高分布式组网雷达系统的射频隐身性能，应尽可能降低总辐射能量。考虑到跟踪精度和设备硬件资源限制，通过联合波形设计和波束选择提高分布式组网雷达系统的射频隐身性能问题可以表示为

3 模型求解

式(7)为一个混合非线性布尔问题，属于NP-hard 问题。一般情况下，穷举搜索算法可以解决这一问题，但由于其计算复杂度较高，且随着组网雷达系统中的雷达数量呈指数增长趋势。因此，本文提出了一种利用拉格朗日乘子法和粒子群优化（PSO）算法求解该问题的两步求解方法。

3.1 波形优化

由于不同雷达跟踪不同目标时发射波形之间不存在耦合，所以可以将原问题转化为Q个单目标跟踪的波形设计问题，即

式（8）可以由拉格朗日乘子法求解[24]，其解由下式给出：

3.2 波束选择

由上一步可以得到在不同雷达选择情况下任何一个目标的最优波形及相应的辐射能量，而后式(7)将转化为一个离散优化问题。此问题难以解析求解，故而本文采用PSO 求解方法，具体算法如下：

（1）设置迭代次数、种群数目、粒子维数、惯性因子等初始化参数；（2）随机赋值每个粒子位置和速度；（3）计算粒子群中每个粒子的辐射能量；（4）筛选辐射能量最小的粒子作为全局最优粒子；（5）更新每个粒子位置和速度；（6）对超出优化变量矩阵的粒子重新赋值；（7）计算更新后每个粒子的辐射能量；（8）将更新后的粒子合并先前最优粒子进行筛选，选取总辐射能量最低的粒子为全局最优；（9）对迭代次数进行判断，若到最大迭代次数，则输出结果，否则继续进行迭代。其流程如图1 所示。

图1 波束选择算法的流程图Fig.1 The flow chart of the PSO algorithm for beam selection

4 仿真结果与分析

4.1 参数设置

book=57,ebook=59

为验证本文所提算法的有效性，进行如下仿真。假设分布式组网雷达系统由三台雷达组成，有8 个目标需要跟踪，他们随机地分布在二维平 面上。假设每个目标的位置及其运动方向精确已知，如图2 所示。由于目标脉冲响应与其相对于雷达的角度密切相关，首先计算了所有目标相对于每台雷达的角度和距离，如表1 和表2 所示。互信息的阈值设置为2.85 nats，其他参数如表3所示。

图2 仿真场景设置Fig.2 The simulation scenario

表1 组网雷达系统中雷达与目标角度Table 1 The angles of targets with respect to each radar

表2 组网雷达系统中雷达与目标距离（单位: km）Table 2 The distances of targets with respect to each radar (unit: km)

表3 仿真参数Table 3 The simulation parameters

根据这些仿真参数，利用自行设计的软件对某型战斗机的脉冲响应和杂波功率在整个带宽上 进行了仿真，一些典型结果如图3 所示，观察到脉冲响应与雷达和目标之间的距离和角度密切相关。如表1 和表2 所示，雷达3 离目标6 距离较近，而且正好位于目标的侧方，其脉冲响应强度book=58,ebook=60相对于雷达1 和雷达2 较强。所以距离越近，角度越接近90°，脉冲响应强度越强。

图3 目标6 对雷达的频率响应及杂波的PSDFig.3 Target 6 response spectra and clutter PSD in different radar

4.2 波形设计

将上述参数代入表达式(9)，可以获得不同雷达组合下对于单个目标跟踪时最佳波形，典型波形图如图4 所示。由此可以看出，发射能量分布与目标脉冲响应谱和杂波PSD 有关。具体来说，对于脉冲响应大、杂波功率小的雷达来说，将分配更多的发射能量。例如，对于目标T6 而言，相比于R1 和R2，R3 被分配更多的能量，这是由于其为最佳的脉冲响应。另外，对于冲激响应弱而杂波功率强的雷达，应该为相应的雷达分配较少的能量，甚至不分配能量，例如R1。

图4 目标6 的最优波形Fig.4 Optimal waveform design for target 6

对每部雷达来说，为了使分布式组网雷达传输的总能量最小，且达到预定的跟踪性能，采用“注水法”得到最优雷达波形设计方案。具体来说，就是在目标脉冲响应较高的频谱上分配更多的能量。例如，R2 的波形设计方案与其目标响应曲线较为相似，R3 有4 个频段目标响应较高，所以波形设计方案在目标响应高的4 个部分分配了较多的能量。

4.3 波束选择

为对波束选择进行优化，计算了在选择不同雷达组合的情况下，达到给定的跟踪精度时每个目标的总发射能量，如表4 所示。其中“”表示对于该目标，此种雷达选择组合无法达到预定的跟踪精度，例如单独使用R2 跟踪目标1 或者目标2 时，其回波与目标冲击响应之间的互信息无法达到2.85 nats。假设每个雷达最多发射3 个波束，这意味着每个雷达最多可以跟踪3 个目标。基于表4，应用粒子群优化算法，可以得到使系统总发射能量最小的波束分配方案，如表5 所示，其中R1 跟踪T1、T2 和T5，R2 跟踪T3、T4 和T7，R3 跟踪T1、T6 和T8。

表4 不同雷达组合时跟踪每个目标所需的能量Table 4 The total transmit energy for each target in different radar selection

表5 波束最优分配方案Table 5 The optimal beam allocation scheme

4.4 射频隐身性能评估

为了检验面向射频隐身的波束选择和波形设计策略的射频隐身性能，在相同的跟踪精度情形下，比较了该策略与线性调频信号波形对每个目标的总发射能量。在仿真中，所有参数与前面的参数设置相同，仿真结果如图5 所示。从图中可以看出，该策略对目标T1、T2、T3、T4、T5、book=59,ebook=61T6、T7 和T8 的总发射能量分别为11.35 J、4.87 J、161.39 J、44.9 J、8.53 J、5.45 J、0.92 J 和24.19 J。然而，对于线性调频信号波形，在达到相同的跟踪精度情况下，对目标T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7 和T8 的总发射能量分别增加到22.91 J、14.61 J、481.04 J、134.83 J、25.56 J、10.39 J、2.92 J 和68.32 J。可以看出，对于位于任何位置的目标，面向射频隐身的波束选择和波形设计策略均可以明显降低整个系统的总发射能量，对目标T1、T2、T3、T4、T5、T6、T7 和T8 的总发射能量分别降低约50%、67%、67%、67%、67%、48%、69%和65%，系统总辐射能量降低约66%。因此，本文所提的波形设计方案相比线性调频信号具有更好的射频隐身性能。

图5 本文所提资源分配方案与线性调频 信号波形辐射能量比较Fig.5 Transmit power comparison between proposed strategy and the linear frequency modulation waveform design scheme

5 结 论

本文针对组网雷达跟踪多目标时的射频隐身问题，提出了通过选择雷达波束并优化设计其波形使总发射功率最小化策略。然后，考虑到组网雷达系统硬件资源限制，将该策略建立为带约束优化问题，并采用基于拉格朗日乘子和粒子群优化算法的两步求解方案解决该优化问题。为了进一步验证该策略的有效性，对二维分布式组网雷达进行数值仿真。结果表明，与线性调频信号设计方案相比，本文所提策略能明显降低各目标的发射能量以及系统的总辐射能量，其降低幅度均在50%以上。因而，本文所提策略具有更好的射频隐身性能。