唐保东

(南京市雨花台中学 江苏 南京 210012)

1 提出问题

在今年2月份南京和盐城两市高三联合一模考试中，有这样一道试题：

【试题】如图1(a)所示，O点为单摆的固定悬点，t=0时刻摆球从A点开始释放，摆球将在竖直面内的AC之间做简谐运动，其中B点为运动中的最低位置，用力的传感器测得细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的曲线如图1(b)所示，Fm,Fn,t0均已知，重力加速度为g，求：

图1 试题题图

(1)单摆的摆长L；

(2)摆球的质量m.

这是一道比较常规的单摆运动规律与力学相结合的题目，题干呈现的图像看起来很像y=|cosx|+k的函数图像，并且在nt0时刻突变，这与我们常见的单摆拉力随时间变化图像似乎有点不一样[1,2]，到底哪个图像才是正确的呢？

2 讨论问题

首先,我们可以运用数学手段来证明，如图2所示，设A点细线偏角为θ0(即此单摆的最大摆角).

图2 单摆受力分析

可知t时刻小球运动到P点时瞬时偏角

θ=θ0cosωt

(1)

解得

(2)

故小球位于P点时细线拉力

(3)

将式(1)代入式(3)，可得

F=3mgcos (θ0cosωt)-2mgcosθ0

这个函数的图像是怎样的呢？我们可以赋予一定的值，例如假定L=1 m,g=10 m/s2,θ=5°,m=0.1 kg.利用GeoGebra软件绘图，设置横纵坐标为10∶1，可得图像如图3所示.

图3 细绳拉力随时间变化图像

对比可见，图3与题目所给图像相差较大，为慎重起见，我们进一步思考：对函数

F=3mgcos(θ0cosωt)-2mgcosθ0

求导可得

F′=3mgωθ0sinωtsin(θ0cosωt)

图4 导函数随时间变化图像

3 明确结论

根据之前求解的结论，单摆拉力

F=3mgcosθ-2mgcosθ0

其随摆角变化的图像是余弦函数与一项定值之差决定的，而θ=θ0cosωt，t=0时，θ=θ0，F=Fn=mgcosθ0为最小值，以后随时间周期性变化,正确的图像应该如图5所示.

图5 拉力随时间……