孟玉翠

（山西大学数学科学学院，太原 030006）

近年来，常微分方程（ODE）-偏微分方程（PDE）级联系统的镇定问题越来越得到广大研究者的关注［1-7］.它可以描述很多不同的物理问题，如交通流、化学反应器和热交换器等. 在文献［8］中，作者提出了利用偏微分方程backstepping方法来镇定一阶不稳定的双曲偏微分方程，该方法还应用到了具有执行器和传感器延迟的系统［9］. 文献［10］将时滞描述为一个传输方程，并考虑了一阶双曲偏微分方程和ODE级联系统的镇定问题. 关于偏微分方程backstepping方法的其他应用可以在文献［11-18］中找到. 虽然偏微分方程backstepping方法已经有效地解决了ODE-PDE级联系统的镇定问题，但backstepping方法的核函数通常是一个偏微分方程，从而相对复杂. 与此不同，本文设计了一个新的变换，其优点之一是核函数是一个常微分方程，其求解难度远比通常的backstepping方法核函数的求解小. 该方法的另一个优点是在证明闭环系统的稳定性时，避免了构造Lyapunov函数的困难.

考虑下面的系统：

其中：X是ODE的状态；A∈ℝn×n；B∈ℝn×1；g∈C[0,1]；U是控制. 在状态空间ℝn×L2(0,1)中考虑系（1），其内积定义为

1 控制器的设计

我们将控制U(t)分为两部分

其中：U0(t)用来镇定一阶双曲偏微分方程；U1(t)是待定的新的控制. 按照文献［8］，利用backstepping 方法，U0(t)可以设计如下：

由式（3）和（4），系统（1）可以化为

其中核函数q(x,y)是由式（4）给定的. 引入变换

对式（6）求导可得

和

将上述两个等式相减，再根据式（4），可以将系统（5）转化为

现在设计控制器U1(t)来镇定系统（9），受文献［19］的启发，引入如下变换：

其中H(x):[0 ,1] →ℝn是待定的向量值核函数. 显然……