闫少辉，王尔童，孙 溪，施万林，宋震龙

1)西北师范大学物理与电子工程学院，甘肃兰州 730070；2)甘肃省智能信息技术与应用工程研究中心，甘肃兰州 730070

混沌作为非线性动力学研究领域中的一个重点研究对象，广泛存在于物理学、生物学、地质学以及电子信息等学科领域．自1963年LORENZ提出首个三维自治混沌系统以来，人们已不断探索出许多新的混沌系统．

近年来，非线性系统中的吸引子共存现象，因赋予了非线性系统更丰富的动力学特性，使其具有更好的灵活性和鲁棒性，通过控制初始值可实现系统状态的转换，可应用于多种工作场景，因此，日益受到人们的关注．鲜永菊等[1]提出仅一个平衡点的四维超混沌系统，该系统具有多翼吸引子共存现象；王梦蛟等[2]通过在Duffing系统中引入一个双曲正切忆阻模型，得到多种混沌和周期吸引子共存现象；颜闽秀等[4]将多零点分段函数引入一个简单系统，建立了共存吸引子个数可调的混沌系统．本研究提出的混沌系统，共存形态为周期吸引子、混沌吸引子均与平衡点的吸引子共存．

混沌系统具有不可预测性，利用混沌系统进行保密通信已成为混沌应用的重要领域之一．近年来有许多混沌控制同步方法被提出，如滑模同步[4]、耦合同步[5]、非线性反馈同步[6]、自适应同步[7]、动态补偿器控制同步[8]和线性反馈同步[9]等．其中，线性反馈同步方法计算量较少，实用性强，且更易于在物理电路上实现，从而得到广泛应用．

本研究基于唐良瑞等[10]提出的混沌系统(简称TANG系统)，并采用线性反馈同步进行混沌控制，构建了一个三维自治混沌系统，并分析该系统的动力学特性．与TANG系统相比，新系统具有不同的拓扑结构，且具有共存吸引子和反单调性等动力学特性．然后，设计了系统的模拟仿真电路，并用现场可编程门阵列(field programmable gate array, FPGA)实现系统的数字电路．采用线性反馈法对系统进行同步控制，使仅以混沌系统最大李雅普诺夫(Lyapunov)指数就可以确定控制参数的取值范围[9]．使用Matlab软件对系统的同步控制进行数值仿真，并设计同步仿真电路，验证了数值仿真的正确性．

1 混沌系统的模型与基本特性

1.1 系统模型

基于TANG系统[10]，本研究新增1个线性项和2个非线性项，建立一个新的三维混沌系统，其状态方程为

(1)

图1 本研究提出的混沌吸引子Fig.1 The proposed chaotic attractors in this study

1.2 基本特性

1.2.1 耗散性、平衡点及稳定性

当a=30,d=7时，由耗散性公式

(2)

令系统(1)等号的右边等于0，即

(3)

解得平衡点S0(0, 0, 0)、S1(16.991, 4.594, 35.405)和S2(-11.741, -12.645, 52.645)． 对系统(1)进行线性化，可得Jacobi矩阵为

(4)

将3个平衡点代入式(4)，可得系统(1)在3个平衡点处的Jacobi矩阵分别为

(5)

(6)

(7)

将Jacobi矩阵代入det(J-λE)=0， 可以解出平衡点的特征根．其中，E为单位矩阵；λ为特征根．分别将式(5)、(6)和(7)代入det(J-λE)=0， 解得S0、S1和S2的特征根，具体见表1．由表1可知，S0为不稳定的鞍点，S1是稳定焦点，S2为不稳定的鞍焦点，证明该系统存在混沌特性．

表1 各平衡点的特征值

1.2.2 Lyapunov指数和维数

通过计算可得系统(1)的Lyapunov指数分别为LE1=3.210 5，LE2=0.021 6，LE3=-32.685 1，则Lyapunov维数为

(8)

2 参数对系统的影响

2.1 不同参数下的Lyapunov指数谱和分岔图

保持其他参数值不变，当c分别取18.0、20.0和22.0时，x-y相图如图2(a)、(b)、(d)．由Lyapunov指数谱和分岔图可知，系统(1)处于非混沌态且为倍周期分岔，运动状态从周期1演变到周期2再到周期4；当c=25.1时，系统(1)处于周期窗口且为周期3，x-y相图如图2(c)；当c=34.0时，系统(1)处于混沌状态，x-y相图如图2(e)．

图2 随参数c变化的Lyapunov指数谱、分岔图Fig.2 (Color online) The Lyapunov index diagram and bifurcation diagram with the change of c

保持其他参数值不变,当d=7时，系统(1)处于混沌状态，x-y相图如图3(d)所示；当d分别取11、12和14时，系统(1)处于非混沌态且为逆倍周期分岔，运动状态从周期4演变到周期2再到周期1，x-y相图如图3(c)、(b)和(a)所示．

图3 随参数d变化的Lyapunov指数谱、分岔图Fig.3 (Color online) The Lyapunov index diagram and bifurcation diagram with the change of d

由以上分析可知，当混沌系统中的参数发生改变时，系统的运动状态随之改变．结合Lyapunov指数谱和分岔图可观察到系统(1)在不同参数变化时的运动轨迹不径相同，说明系统的参数变化也会导致倍周期分岔和逆倍周期分岔的发生．

2.2 复杂度分析

混沌系统的复杂性对混沌保密通信至关重要，随着参数的变化，系统存在周期与混沌交替的动力学状态[11]．当其他参数不变时，随着c和d的变化，系统(1)的C0复杂度变化分别如图4(a)和4(b)．显然当系统处于周期状态时，系统的C0复杂度趋于0，与图2和图3中的Lyapunov指数谱和分岔图对应，随着Lyapunov指数增大，复杂度亦增大，表明系统混沌程度越高．当c=25.1和29.7时，Lyapunov指数无大于0的值，C0的复杂度急剧减小且趋于0，分岔图出现周期窗口．结合复杂度和Lyapunov指数谱可有效分辨运动过程中的周期状态，并在保密通信应用中规避周期状态，实现合理的参数配置．

图4 随参数变化的C0复杂度Fig.4 Complexity C0 varying with parameters

2.3 反单调性

当分岔图随参数变化时，通过倍周期分岔创建周期性的轨道，然后随着分岔参数的增大通过逆倍周期分岔使之消失，这种现象称为反单调性．反单调性是混沌耗散系统分岔中的现象之一，不能通过变量的改变或重新参数化来避免，因此对混沌系统精细结构的研究具有重要意义[12]．设b=57， 初始值(-1, -1, -1)保持不变，以d为变量，观察当a和c变化时系统(1)的反单调性变化，结果如图5．

图5 参数改变的反单调性现象Fig.5 Antimonotone phenomenon of parameter change

当a=30.0,c=40.0时，在图5(a)中可明显观察到倍周期分岔点分别出现在d为2.48、3.12和3.31处，对应的逆倍周期分岔点分别出现在d为3.53、3.75和4.25处，且在倍周期分岔过程中嵌入了两个周期为8的气泡．

当a=29.5，c=40.0时，由图5(b)可见，当d=2.425时，系统(1)处于开始周期2到周期4的倍周期分岔过程；当d增至3.050时，系统(1)开始从周期4分岔到周期8；之后，随着d的增大，系统(1)处于一段混沌区，直到在d=3.940处出现了逆倍周期分岔，d增至4.625时，出现周期4到周期2的逆倍周期分岔点．

当a=30.0,c=39.7时，从图5(c)中可明显观察到，倍周期分岔点分别出现在d取2.464和3.143处，对应的逆倍周期分岔点分别出现在d为3.625和4.161处．在倍周期分岔过程中嵌入了2个周期4的气泡．

当a=30.0,c=41.0时，从图5(d)可见, 当d=2.453时，系统(1)处于开始周期2到周期4的倍周期分岔过程；当d增至3.093时，系统(1)开始从周期4分岔到周期8；之后，随着d的增大，系统(1)处于一段混沌区，直到在d=3.884处出现逆倍周期分岔，当d增至4.453时，出现周期4到周期2的逆倍周期分岔点．

图6 以参数a为变量的分岔图Fig.6 Bifurcation with parameter a

3 共存吸引子

混沌系统具有敏感特性，不仅受参数的影响，同时初始值对系统也有很大影响．在参数确定的前提下，不同初始值对应的运动轨迹收敛于不同的吸引子上，这些吸引子被称为共存吸引子[13]．

固定系统(1)的参数值不变，分别取初始值为(-1, -1, -1)和(1，1，1)，得到随参数a变化的共存分岔图如图6．由图6可见，当a>35.71时，两个不同初始值的分岔图不再重合，说明系统(1)存在共存吸引子现象．当a分别取35.8、38.0和40.0时，系统(1)取不同初始值时共存吸引子如图7．由图7可见，当初始值为(-1, -1, -1)时，随着参数的变化，系统(1)在混沌和周期状态之间变化；而当初始值为(1，1，1)时，系统(1)均收敛于平衡点．两个不同初始值的吸引子处于不同位置，构成了不对称的共存吸引子．由吸引子共存情况可知，当系统初始值为(1，1，1)时，随着a增大，系统将收敛于平衡点；当初始值为(-1, -1, -1)时，系统的动力学特性更加丰富．不同初始值共存吸引子充分说明了系统(1)对初始值的敏感性．

图7 以参数a为变量的x-y共存吸引子相图Fig.7 x-y coexistence attractors with parameter a

4 电路仿真

图8为本研究设计的模拟电路．由于吸引子相图中的变量(即吸引子图的横纵坐标对应的系统变量)的动态范围超出了±13.5 V，先对变量做比例压缩，将系统(1)变量均匀压缩为原值的1/10，再进行尺度变换．令τ=τ0t,τ0=1 000， 则可得

(9)

由图8可得电路方程

图8 系统(1)的电路原理图Fig.8 Phase diagram of chaotic attractors of the circuit

(10)

令C1=C2=C3=10 nF，由式(9)和式(10)计得R1=3.33 kΩ，R2=1.76 kΩ，R3=R10=R9=14.628 kΩ，R4=2.5 kΩ，R5=R6=R7=10 kΩ，R8=20 kΩ，其余电阻均为10 kΩ．图9为系统模拟电路的相图．对比图9和图1发现，电路仿真的相图与数值仿真的相图一致，验证了系统电路的正确性．

图9 系统电路相图Fig.9 Phase portraits of chaotic attractors of the circuit

环境温度和器件老化对模拟器件性能的影响限制了模拟混沌电路在工程中的应用．采用FPGA数字电路实现混沌系统可以很好地避免该问题，保证混沌吸引子的稳定可靠．系统(1)的FPGA实现如图10．对比图1、图9和图10可见，数字电路输出结果与模拟电路仿真和数值仿真结果一致．

图10 系统(1)的FPGA实现Fig.10 (Color online) FPGA implementation of system (1)

5 新系统的线性反馈同步

5.1 线性反馈同步控制及数值仿真

将系统(1)设为驱动系统，记为式(11)；在系统(11)后加反馈控制项得响应系统，记为式(12)．

(11)

(12)

令误差变量为

(13)

将式(11)和式(12)代入式(13)，可得误差系统方程为

由于系统(1)含有多个非线性项，对应的Lyapunov 函数不易构造，而利用线性反馈法只需计算最大Lyapunov指数(LEmax)就可以直接得到反馈系数的取值，更为简便．由文献[9]中线性反馈同步的机理可知，当反馈参数k1=k2=k3=k>LEmax时，采用线性反馈法可控制混沌系统达到同步．计算得到系统(11)的LEmax=3.210 5，所以当k1=k2=k3=k>3.210 5时，系统(11)和系统(12)可达到同步．

根据上述结论，设驱动系统初始值为(-1, -1, 1)，响应系统初始值为(0.1，0.1，0.1)． 设k分别为3.0和3.4，采用Matlab软件分别对系统(11)和系统(12)进行仿真，得到的时域波形图如图11．其中,虚线为系统(11)波形，实线为系统(12)的波形．不同k值的误差曲线图如图12．

图11 不同k值时驱动系统和响应系统波形Fig.11 (Color online) The waveforms of the drive system and the response system at different k values

图12 不同k值的误差变量Fig.12 (Color online) The errors under different values of k

当两系统同步时，它们的时域波形图重合，误差曲线为一条值为0的直线．由图11和图12可知，当k=3.0时驱动系统与响应系统不同步；当k=3.4时，驱动系统和响应系统达到同步．相比文献[8]的同步方法，本研究方法可实现电路同步，更具实用性；相比文献[14]的同步方法，本研究方法无需构造同步控制器，可直接根据LEmax得到反馈系数的取值范围，因此更加方便．

5.2 同步电路仿真

使用线性电阻、3554AM运算放大器搭建一个简单的减法器电路做控制模块，通过接入不同的电阻来代表不同k时的反馈控制电路，得到同步仿真电路，如图13．

图13 同步电路原理图Fig.13 Synchronous circuit principle diagram

当C1=C2=C3=10 nF、τ=τ0t，τ0=1 000时，令R37=R38=R40=R41=R42=R43=R45=R46=R47=R48=R50=R51=10 kΩ，由电路原理可知，Ri(i=39, 33, 49)的值影响反馈系数k的值．当Ri=34 kΩ时，电路不同步，示波器显示为混乱状态，如图14(a)；当Ri=29 kΩ时，电路达到同步，示波器显示为一条倾斜直线，如图14(b)．

图14 电路中不同Ri值对应相图Fig.14 Different Ri values in the circuit corresponding to phase diagrams

综上可知，Ri值不同，电路同步状态亦不同，同步电路仿真结果与数值仿真结果一致，实现了混沌同步的电路设计．但是，本研究构造的反馈电路比文献[9]更简单，且都使用常见的电子元器件，更具实际应用价值．

结 语

基于文献[10]构造了一个三维自治混沌系统，对其动力学特性进行分析，发现该系统具有混沌系统的基本特性；通过改变参数，发现系统的分岔图具有反单调特性且在不同参数下反单调性呈现不同的现象，说明该系统对参数极其敏感；通过取不同的初始值发现该系统具有吸引子共存现象，通过对比选择更适合同步的初始值．设计了系统的仿真电路，并使用FPGA实现系统的实际电路，实验结果与数值仿真、电路仿真结果一致，验证了系统的实用性．采用线性反馈法对该系统进行同步控制并进行数值仿真，并设计了系统的同步模拟电路进行了电路仿真，结果与数值仿真结果一致，证明该同步方法的正确性，且模拟同步电路均采用简单的电子元器件组成，具有一定的实用价值．