广东省东莞市南城中学(523078) 曾 慧

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规解决平面几何作图问题,直尺的功能是连接、画线,圆规用来画弧线或者截取相等长度的线段,将基本图形〔线段、角〕大小的“数”的问题转化为“形”的问题, 是建立在几何推理上的一种几何操作.基本原理指向几何概念的本质,规定只用直尺和圆规作图的初衷是对理性思维的追求,我们应该“不忘初心”,强调“观察、想象、推理、操作”,培养直观想象、逻辑推理能力,最终达到利用数学知识解决问题的目的.

1 试题呈现

如右图, 在ΔABC中, 点D是AB边上的一点.请用尺规作图法,在ΔABC内,求作∠ADE,使∠ADE= ∠B,DE交AC于E.

分析: 作一个角等于已知角.求作的角除了满足与∠B相等外,还必须满足另两个条件: 在ΔABC内和点E在AC上,这可以用一个基本作图或者若干个基本作图来解决.尺规基本作图有: ①作一条线段等于已知线段; ②作一个角等于已知角; ③作一个角的平分线; ④作一条线段的垂直平分线; ⑤过一点作已知直线的垂线.

直观想象已作结果图, 若∠ADE= ∠B, 则DE//BC,反之若DE//BC, 则得∠ADE= ∠B.所以本题的作法,除直接作一个角等于已知角, 还可以间接用尺规过D作DE//BC,或者其他,只要能证明得∠ADE= ∠B,且满足其他两个条件即可.

2 作法赏析

2.1 构造全等三角形

作法1: 如图1〔基本作图②: 直接在ΔABC内作一个角等于已知角,∠ADE=∠B〕

图1

作法2: 如图2〔基本作图②: 在ΔABC外作一个角等于已知角,间接证得∠ADE=∠B〕

图2

2.2 构造特殊四边形

作法3: 如图3〔基本作图①,在ΔABC内,作一条线段等于已知线段,构造菱形,证得∠ADE= ∠B〕尺规作一条线段……