万小燕

(江苏省苏州吴江汾湖高级中学 江苏 苏州 215000)

函数是高中数学课程的核心，高中人教版数学教材中帮助学生建立完整的函数概念，要求学生利用集合语言、对应关系去理解函数。但是从实际的教学情况而言，函数变量改变过于复杂，整体的学习效率低，如何高质量完成教学任务是目前教师要重点考虑的问题。对此，文章选择HPM视角来分析函数概念教学，希望让学生理解函数概念背后的人文精神，增强学习数学知识的自信心。

1.HPM视角下高中数学概念教学的作用

1.1 传播数学文化。如何体现数学的文化价值，需要教师基于HPM视角进行综合分析，例如在阐述数学建模的时候，将上世纪数学的发展和日常生活进行有效整合；讲述函数知识时与变量结合，从小学开始，每个人所接触的事物在变化，这是数学发展的一种体现形式。将函数和体检心电图进行对比，x为时间，y是生物电，将函数概念拓展到计算对象和性质层面，为学生日后的可持续学习奠定基础。所以HPM视角下的函数教学，学生在探索中形成正确思维，体会到数学和生活的联系，即便他们忘记了概念、公式，但是数学思想仍留存于他们心中。

1.2 完善函数知识结构。函数具有严密、抽象的特点，人教版数学教材所展现的函数例题大多经过加工、处理，对知识的发展并未做详细说明，函数知识一般以公式、定理的形式存在，学生对概念认知非常模糊。虽然人教版必修1的26页阅读材料中介绍函数的发展过程，但是数学基础薄弱的学生探索兴趣低，教师没有明确规定的情况下，学生不会认真阅读。对此，教师要转变思路，课堂上详细阐述函数的形成过程，以酝酿期、形成期到成熟期三个阶段为出发点，主动向学生介绍函数的发展，强化学生的认知结构，构建完善的函数知识学习框架。

2.基于HPM视角下高中数学概念教学策略

2.1 课前导入阶段呈现HPM视角。知识的形成和现实生活有非常密切的联系，为了让学生认识到函数概念的意义，教师在教学开始前主动解释函数在现实中的地位、价值，在HPM视角下回到历史，重视函数发展历程，为后续学习奠定思想基础。而在具体实践的过程中，教师从四个阶段来刻画函数概念的形成：

(1)解析式阶段。18世纪，数学家研究函数改变，将x的不同次幂作为x的函数，接着拓展到x的代数式，《无穷分析引论》中Euler以解析式来定义函数，让函数改变不再局限于代数式中。

(2)变量依赖阶段。18世纪中期对函数解析式改变的认知提出了争议，Euler也发现某些分段函数不符合这一规律，所以在“解析式”的基础上进行完善，《微分基础》中诞生了“函数变量依赖”的定义。

(3)变量对应。19世纪，Dirichlet将对函数概念有了重新定义，从“任意性”层面出发，认识到函数存在解析式和曲线，所以将函数作为任意变量的对应关系，并以“性状极怪”的实例加以说明。这一理念的提出，打破了大众对函数的刻板印象，它并非一个简单的解析式，也并非简单曲线。

(4)集合对应。19世纪集合论的存在，对函数又用了重新定义，假设E、F是两个集合，可以相同，也能不同，函数是由定给关系所决定的。基于以上的历史教学，选择函数概念发展的关键时期做综合阐述，从而让高中生对这一章节的知识有更为清楚的认知。

2.2 课堂教学设计渗透HPM视角。HPM视角下的函数概念教学，除了在课前融入数学历史外，还可以采用借鉴、重演的形式，帮助学生形成正确的数学观。对此，教师列出三个函数案例，让学生尝试着以第二阶段“变量依赖”的层面去分析：

(1)春季运动会女生100记录统计表；

(2)常值函数y=0(x∈R)；

(3)Dirichlet提出的函数的特点为：x是有理数时，y=1，x是无理数时，y=0。

教师询问学生如何看待第三个问题，两个变量之间是否存在依赖关系，这三个案例就能发现是从“变量依赖”的角度去分析函数，但是不够具体和详细，同学们应该如何修改和完善。学生在讨论中总结答案，将“依赖”变为“对应”，整个过程中，如若有两个变量x与y，对x每个确定的值，y都有对应，所以x为自变量，y是x的函数。

2.3 课后训练阶段展现HPM视角。一堂课结束后，教师为了继续培养学生的探索兴趣，提出一些新颖的数学习题，巩固课上学过的知识，或者是对函数知识进行适当的延伸和拓展。如求证：f(x)=2x2-3是偶函数；又或者是分析y=1和y=10是同一函数吗？当学生在练习过程中重新回顾函数概念演变过程。从课后访谈情况而言，学生能准确区分初高中函数的不同点，而数学教师的分阶段教学，让学生更为深刻地感受函数概念的发展历程。

结束语

HPM视角下的数学史呈现多元发展的趋势，所以教师采用附加式教学法，顺利融入函数概念，引发学生的情感冲突，逐步探讨、分析的过程中构建完整的学习框架。需要注意的是，HPM视角下的教学理论，并非只适用于函数方面，也能应用到对数、概率等知识中，希望教师拥有丰富的数学素养，灵活运用，发挥出数学史的现实价值。