王艳

【摘要】本文从一道2020年全国大学生数学竞赛试题出发，给出关于该试题的推广，并举例说明其应用.

【关键词】 幂指函数;极限;导数;积分

【基金项目】2020年安徽省质量工程项目：高职数学课程思政教学团队（项目编号：2020kcszjxtd51）;安庆职业技术学院高职数学课程建设项目.

一、引言

在2020年11月全国大学生数学竞赛初赛中有一道如下试题：

设f（x），g（x）在x=0的某一邻域U内有定义，对任意x∈U，f（x）=g（x），且limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，则limx→0f（x）g（x）-g（x）g（x）f（x）-g（x）=.

解由于limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，所以由极限的保号性，存在x=0的一个去心邻域U0，使得对x∈U0，有f（x）>0，g（x）>0.下面开始计算：先分子、分母同除以[g（x）]g（x），得

limx→0[f（x）]g（x）-[g（x）]g（x）f（x）-g（x）=limx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）·[g（x）]g（x）=aalimx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅰ）.

這里f（x）g（x）g（x）是幂指函数，由反函数的性质f-1f（x）=x，有

f（x）g（x）g（x）=elnf（x）g（x）g（x）=eg（x）lnf（x）g（x）.

由等价无穷小替换，当x→0时，g（x）·lnf（x）g（x）→0，有eg（x）lnf（x）g（x）-1～g（x）lnf（x）g（x），

则

（Ⅰ）式=aalimx→0g（x）lnf（x）g（x）f（x）-g（x）

=aalimx→0g（x）ln1+f（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅱ）.

再由等价无穷小替换，当x→0时，f（x）g（x）-1→0，

有ln1+f（x）g（x）-1～f（x）g（x）-1，

则（Ⅱ）式=aalimx→0g（x）f（x）g（x）-1f（x）-g（x）=aalimx→0f（x）-g（x）f（x）-g（x）=aa.

这道题主要用到幂指函数极限的相关性质.幂指函数形如f（x）g（x），这个函数既像幂函数又像指数函数，它的特点是底数和指数都是变量.我们初识幂指函数是在学习初等函数的时候，很多同学认为它不是初等函数或者错误地进行初等分解，其实幂指函数是初等函数，它满足初等函数的所有性质.在高等数学学习过程中，很多内容都涉及幂指函数，例如求极限和求导，特别是求导的时候，很多同学会错误地把它当成幂函数或指数函数的复合函数来求导.本文基于几道竞赛题和习题推广幂指函数在导数和不定积分中的应用，并给出一些对应的解题方法.

二、相关问题的进一步探讨

（一）幂指函数的极限

这类题型一般有两种解题方法：（1）取对数化成隐函数;（2）利用幂指函数指数化.

幂指函数指数化又分为两种：f（x）和g（x）都是关于x的函数，为了方便，简记为g和f.

① 设lim f=a>0，lim g=b，则lim fg=lim eln fg=elim gln f=ab=（lim f）lim g.

② 1∞型未定式.设lim f=1，lim g=∞，利用等价无穷小替换，ln f～f-1，则lim fg=elim gln f=elim（f-1）g.

例1 limx→0sin x2+cos 2x1x.（第八届北京大学生数学竞赛大专组第4题）

解方法一：取对数化成隐函数.

设y=sin x2+cos 2x1x，

则ln y=lnsin x2+cos 2x1x=1xlnsin x2+cos 2x.

由洛必达法则，得

limx→0lnsin x2+cos 2xx=limx→012cos x2-2sin 2xsin x2+cos 2x1=12，

即limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

方法二：幂指函数指数化.这里又可以分两种解法：

limx→0sin x2+cos 2x1x=elimx→0sin x2+cos 2x-1·1x

=elimx→0sin x2-2sin2xx=e12.

或limx→0sin x2+cos 2x1x=limx→01+sin x2-2sin 2x1x

=limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x·sin x2-2sin 2xx，

由于limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x=e，

limx→0sin x2-2sin 2xx=limx→0sin x2x2·2-0=12，

所以limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

（二）幂指函数的求导或微分

1.幂指函数的求导

这类题型一般用指数函数求导法或取对数求导法.下面对指数函数求导法和取对数求导法做简要说明.

设f（f>0）和g都可微，

① 指数函数求导法：利用恒等式fg=egln f，得

（fg）′=（egln f）′=eg ln f（gln f）′=fgg′ln f+gf′f.

② 取对数求导法：等式y=fg（f>0）两边取对数，ln y=ln fg=gln f，再求导，1yy′=g′ln f+gf′f，得（fg）′=fgg′ln f+gf′f.

例2若u=xyyx，求uy.（第六屆北京市大学生数学竞赛大专组第8题）

解用取对数求导法，u=xyyx两边同时取对数，得

ln u=lnxy-lnyx=1xln y-1yln x.

等式两边对y求导，得1uuy=1x·1y+1y2·ln x，

即uy=xy1-xyx1x+ln xy.

本题直接用乘积的求导公式和幂函数及指数函数的求导公式也可以得到结果.

u=xyyx=x-1y·y1x，把x，y 当作独立的变量，则

uy=x-1y·ln x·-1y′·y1x+x-1y·1x·y1x-1·y′

=x-1y·1y2·y1x·ln x+x-1y·y1x-1·1x·1

=x-1y·y1x-1·ln xy+x-1y·y1x-1·1x

=xy1-xyx1x+ln xy.

2.幂指函数的微分

有时候遇到求多元函数的偏导数仅仅用指数函数求导法或取对数求导法并不容易得出正确的答案，这时候需要用到全微分的计算公式和隐函数的微分法.

① 若函数z=f（x，y）可微，则dz=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy.由一阶全微分形式的不变性，不管x，y是自变量还是中间变量，该等式都成立.

② 隐函数的微分法：若二元方程确定的一元隐函数F（x，y）=0，y=y（x），则dydx=-FxFy;

若三元方程确定的二元隐函数F（x，y，z）=0，z=z（x，y），则zx=-FxFz，zy=-FyFz.

例3设z=f（x，y）是由方程zx=yz确定的，求z对x的偏导数.

解方法一：两边同时取对数，有xln z=zln y，

两边同时求微分，d（xln z）=d（zln y），

ln zdx+x1zdz=ln ydz+z1ydy，

化简，得xz-ln ydz=-ln zdx+zydy，

x-zln yzdz=-ln zdx+zydy，

即dz=-zln zx-zln ydx+z2yx-zln ydy，

得到zx=-zln zx-zln y=zln zzln y-x.

方法二：设Fx，y，z=zx-yz，

则Fx=zxln z，Fy=xzx-1-yzln y，

zx=-FxFy=-zxln zxzx-1-yzln y=zxln zyzln y-xzx-1=zxln zzxln y-xzx-1，

等式右端分子、分母同时除以zx，得zx=zln zzln y-x.

（三）幂指函数的不定积分

这类题型实质上是幂指函数求导的逆过程，主要用到凑微分法，掌握了幂指函数求导方法，处理相关积分就容易多了.下面给出被积函数是一阶导数和二阶导数的不定积分公式.

设f（f>0）和g都可微，则∫f gg′ln f+gf′fdx=∫f g（gln f）′dx=∫（f g）′dx=f g+C，其中C为任意常数.由于（f g）′=f g（gln f），有（f g）″=f ggln f″+gln f′2，所以

f g{（gln f）″+[（gln f）′]2}=（f g）″dx2=f g+C1x+C2.

有时候也会遇到被积函数是高阶导数的不定积分，求解方法同上.下面给出例题加深理解.

例4求不定积分：

∫xx（1+x+xln x）dx.

解原式=∫xx+11+xx+ln xdx

=∫xx+1（x+1）（ln x）′+ln x（x+1）′dx

=∫xx+1[ln x（x+1）]′dx

=∫（xx+1）′dx

=xx+1+C.

三、结论

幂指函数既不是幂函数也不是指数函数，它是幂底数和幂指数都是变量的函数，正因为这个特点，在求其极限、导数和不定积分的时候才稍显复杂.本文受2020年全国大学生数学竞赛一道幂指函数试题的启发，对相关内容进行了拓展和应用.幂指函数主要贯穿在解题中的某一环节，搞清楚它在各题型中需要的解题方法至关重要.本文结合几道竞赛题目给出了更直观的结论，以方便大家理解和应用，也可融入今后的高数教学中.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学：上册[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.

[2]华东师范大学数学系.数学分析：下册[M].第3版.北京：高等教育出版社，2001.

[3]雷冬霞，黄永忠，吴洁.一道全国大学生数学竞赛题的探讨[J].大学数学，2018，34（1）：118-122.

[4]唐硕，时军，陈晓彦.一道数学竞赛题的探讨与引申[J].大学数学，2017，33（4）：60-65.