王胜堂

二元变量最值问题中通常有两个变量，且两个变量受一些条件的约束.此类问题的综合性较强，常需灵活运用不等式、函数、导数、三角函数、方程等知识，才能使问题顺利获解.那么，如何将这些知识融会贯通，从不同的角度去分析、探究，得到不同的解法呢？本文以一道题为例，来探究一下如何从不同角度解答二元变量最值问题.

例题：已知 x >0，y >0，则的最大值是__________________.

该题目中给出的条件较少，目标式为二元二次式.要求得目标式的最值，需将目标式化简、转化.可以从基本不等式、方程思想、完全平方式、函数思想、解析几何知识、导数的性质等六个角度寻找解题的思路.

角度一：运用基本不等式

基本不等式是解答二元变量最值问题的重要工具.但运用基本不等式 a +b ≥2（a >0，b >0）求最值，一般需要具备三个前提条件：（1）两个数都为正数;（2）两个数的和或积为定值;（3）两个数取等号时不等式成立.而运用基本不等式求最值的关键一步，是構造出两数的和或者积，并使其中之一为定值.

解：

我们将先分母变形，拆分为两组数“”的和，然后利用基本不等式求这两组数的最值，再次运用基本不等式求得“”和的最值.在多次运用基本不等式求最值时，要确保两次使用基本不等式时的等号同时成立.

角度二：利用方程的判别式

在求解二元二次变量最值问题时，我们可将其中的一个变量视为参数，构造关于 x 或者y 的一元二次方程.因为x、 y 有解，所以方程的判别式△≥0，解不等式即可……