陈巧巧

三角形面积的最值问题一般比较简单，但抛物线中的三角形面积最值问题却较为复杂，这类三角形的面积常与动点的坐标有关，因而此类问题的难度一般较大.解题时需灵活运用平面几何知识、函数的图象和性质、基本不等式、三角形的性质和面积公式、抛物线的定义和性质等知识.那么，如何解答此类问题呢？一般可运用构造法和分割法来求解.下面我们结合实例来进行探讨.

一、构造法

构造法是指通过添加辅助线，构造出三角形的底或高，以能直接利用三角形的面积公式求得问题的答案.通常，可过三角形的一个顶点作 x 轴或 y 轴的垂线，使其与三角形的一条边相交，从而确定三角形的底或高，这样就可以根据三角形的面积公式进行计算了.

例1.如图1所示，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标为（-3，-4），线段 OB 绕原点逆时针旋转后与 x 轴的正半轴重合，点 B 的对应点为 A，如果点 P 是抛物线上的一个动点且在 x 轴的上方，当点 P 运动到什么位置时，△PAB 的面积最大？

解析：由于点 P 是抛物线上的一个动点，所以我们无法确定△PAB 的形状，也就无法确定三角形的高和底，不能直接利用三角形的面积公式来求解，需要构造出三角形的高和底.可过点 P 作 PE 垂直 x轴交 AB 于点 E，则，此时△APE 的底为 PE，高为 A 到 PE 的距离;△BPE 的底为 PE，高为 B 到 PE 的距离，而 A 、B 到 PE 的距离之和为 A 、B 的横坐标之差.当|PE|最大时，△PAB 的面积最大.借助两点间的距离公式和二次函数的性质便可顺利求得△PAB 面积的最值.

解：

一般地……