王旦

圆锥曲线中的定点问题在解析几何中比较常见，此类问题的综合性较强，侧重于考查圆锥曲线的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系、韦达定理、方程的判别式等.本文以一道题为例，探讨一下解答圆锥曲线中定点问题的办法.

题目：已知椭圆的方程为，直线l与椭圆相切于点 P，且与直线x =4相交于点 Q，那么以 PQ 为直径的圆是否经过 x 轴上的一个定点？若经过，求出该定点坐标;若不经过，说明理由.

本题较为复杂. P、 Q 均为动点，导致我们无法确定PQ 为直径的圆的位置和大小，也就难以判断以 PQ 为直径的圆是否经过 x 轴上的一个定点.要解答本题，我们需设出 PQ 的直线方程，或者求得 P、 Q 两点的坐标，以确定圆的圆心和半径，才能判断以 PQ 为直径的圆是否经过 x 轴上的一个定点.有如下两个办法.

一、巧用设而不求思想

设而不求思想是指设出变量，但不求出变量的值，将其代入题设中进行求解的思想.在运用设而不求思想解题时，可设出与其他量有较多联系的变量，如所求點的坐标、直线的方程、曲线的方程等，然后将其当作已知量代入题设中进行求解，通过推理、运算求得问题的答案.在本题中，P、 Q 两点的坐标受直线的斜率影响，可设出直线 l 的斜率，将其与椭圆的方程联立，通过消元构造出关于x 的一元二次方程，运用韦达定理求得 P、 Q 两点的坐标，即可得到圆的方程，求得定点的坐标.

解：由题意可知，直线l 的斜率存在，可设直线l 的方程 y =kx+m .

解答本题主要运用了……