魏玉洁，邹红林

(湖北师范大学 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)

1 引言与预备引理

设R是有单位元的结合环。N(R)表示R上所有幂零元组成的集合。令comm(a){x∈R|ax=xa}，comm2(a){x∈R|yx=xy,∀y∈comm(a)}.

为了读者的方便，我们先介绍相关概念。

定义1[8]设a∈R.若存在x∈R满足下列条件：

xax=x,ax=xa,a-a2x∈N(R)

则称x是a的Drazin逆，记为x=aD.若x存在，则它一定唯一。RD表示R中所有Drazin可逆的元素组成的集合。

定义2[1]设n∈,a∈R.若存在x∈R满足下列条件：

xax=x,ax=xa,an-ax∈N(R)

则称x是a的n-强Drazin逆，记为x=ansD.若x存在，则它一定唯一。RnsD表示R中所有n-强Drazin可逆的元素组成的集合。特别地，当n=1时，称x是a的强Drazin逆。记为x=a1sD=asD.用RsD表示R中所有强Drazin可逆的元素组成的集合。

关于n-强Drazin逆，文献[9]中有以下结论，本文直接以引理的形式给出。

引理1[9]设n∈，则a∈RnsD当且仅当a-an+1∈N(R).

引理2[9]设n∈，若a∈RnsD，则a∈RD且aD=ansD.

根据引理2和文献[8]中的定理1可知：设a∈RnsD.若ab=ba，则ansDb=bansD，即ansD∈comm2(a).

引理3 1) 设n∈，a,b∈R使得ab=0，则a,b∈RnsD⟺a+b∈RnsD.

2) 设n∈，a,b∈R使得ab=ba=0，则a,b∈RnsD⟺a+b∈RnsD.此时

(a+b)nsD=ansD+bnsD.

引理4[9]设a,b∈RnsD，且ab=ba，则ab∈RnsD且(ab)nsD=bnsDansD.

由引理2知，(ab)nsD=(ab)D，再结合文献[10]的引理2 ：(ab)D=bDaD=aDbD，所以有，

(ab)nsD=aDbD=ansDbnsD.

引理5[9]若a,b∈R，n∈，则ab∈RnsD⟺ba∈RnsD，此时，(ba)nsD=b((ab)nsD)2a.

(ap+b(1-p))nsD=ansDp+bnsD(1-P).

证明 因为p2=p，所以p∈RnsD且pnsD=p.已知ap=pa，bp=pb，由引理4得，

ap∈RnsD且(ap)nsD=ansDP，

b(1-p)∈RnsD且(b(1-p))nsD=bnsD(1-p).

因为ap·b(1-p)=b(1-p)·ap=0，结合引理3 2)得，

ap+b(1-p)∈RnsD,(ap+b(1-p))nsD=ansDp+bnsD(1-p)

引理7[9]若a,b∈R，n∈，则1-ab∈RnsD⟺1-ba∈RnsD.

2 主要结果

设p,q是环R中任意两个幂等元，这一节我们将给出(p-q)2，pq，-(pq-qp)2，(pq+qp)2，pq+qp和pq-qp有n-强Drazin逆的一些条件。

定理1 设p,q是环R中任意的两个幂等元，则下列命题彼此等价：

二是要学习和实践马克思主义关于坚守人民立场的思想。学习这一思想的现实意义在于增强“共产党人不忘初心、牢记使命的自觉担当”，明确践履“理论自信”的归宿。

1) 1-pq∈RnsD2) 1-pqp∈RnsD3)p-pqp∈RnsD4)p-pq∈RnsD，

5)p-qp∈RnsD6) 1-qp∈RnsD7) 1-qpq∈RnsD8)q-qpq∈RnsD，

9)q-qp∈RnsD10)q-pq∈RnsD.

证明 由引理7可知，1)和6)等价.这里只须证1)～5)等价。

1)⟺2) 由引理7得，1-pq=1-p(pq)∈RnsD⟺1-(pq)p=1-pqp∈RnsD.

2)⟹3) 设1-pqp∈RnsD，因为p2=p，所以p∈RnsD且pnsD=p.又因为p(1-pqp)=(1-pqp)p，根据引理4得，p-pqp∈RnsD.

3)⟹2) 假设p-pqp∈RnsD，令a=p-pqp，b=1，显然有a,b∈RnsD且ap=pa,bp=pb，结合引理6得：ap+b(1-p)=1-pqp∈RnsD.

3)⟺4) 因为p-pq=p(1-pq)，p-pqp=(1-pq)p，由引理5得，

(1-pq)p∈RnsD⟺p(1-pq)∈RnsD，即p-pqp∈RnsD⟺p-pq∈RnsD.

4)⟺5) 根据引理5可知，p-pq=p(1-q)∈RnsD⟺(1-q)p=p-qp∈RnsD.

如果将定理1中的p，q分别用(1-p),(1-q)代……