张向民，张勇

(中南大学 土木工程学院，湖南 长沙 410075)

高温天气下无砟轨道长钢轨产生横向多波变形，是引起钢轨碎弯病害的诱因之一，严重影响行车平稳性、舒适性和安全性。2007年8月遂渝线无砟轨道试验段出现3处波长4 m正矢2.5 mm的钢轨碎弯[1]。2014年4月～7月在合福高速铁路钢轨横向变形连续测试中获得波长为4倍扣件间距最大波幅为2 mm的钢轨碎弯[2]。钢轨碎弯病害与设计锁定轨温有直接关系，然而我国现行设计规范中无砟轨道钢轨锁定轨温取为中间轨温，尚未考虑允许温升与温降的影响[3]，致使设计锁定轨温偏低，导致轨道板上拱[4]和钢轨碎弯变形几率增大。因此，开展钢轨碎弯相关稳定性机理与设计锁定轨温的研究成为当前迫切的任务。对于无缝线路钢轨横向变形的研究，前苏联米辛柯推导计算了单波和副波曲线的有砟轨道稳定性计算公式；日本国铁研究所根据有砟轨道最终变形的特征选取4类计算曲线提出了沼田实法；原长沙铁道学院基于能量法提出了统一无缝线路稳定性计算公式；卢耀荣[5]采用换算正弦曲线基于能量法建立了无砟轨道无缝线路压弯变形计算模型；肖杰灵等[6]应用有限元法建立无砟轨道横向碎弯分析模型，探讨了钢轨碎弯的成因；胡华锋[7]提出应进行高温条件下的钢轨碎弯变形检算，从而确定合理的锁定轨温范围；张向民[8]基于能量法研究了扣件参数与碎弯波形、临界温度力及连续弹性介质模型精度等稳定性问题；近年来国外相关研究多侧重于轮轨关系及钢轨蠕变等因素对稳定性影响[9−13]，而对轨道结构参数分析较少。现有无砟轨道钢轨横向变形理论模型仍具有一定的局限性，一是模型的边界条件与实际不符；二是弯曲波形未考虑波幅衰减；三是设计锁定轨温的取值范围不够合理。本文提出一种包含副波且波幅衰减的连续波形，基于能量法建立长钢轨横向稳定性数学模型，分析初始弯曲及扣件系统参数的影响规律，为高速铁路设计锁定轨温合理取值及扣件参数的检算提供计算依据。

1 长钢轨横向稳定分析模型

无砟轨道长钢轨由于受到扣件的约束作用，其力学行为应属于连续介质中的无限长梁结构稳定问题，而连续介质中的结构失稳最不利波形往往是多波。影响长钢轨多波失稳的因素包括扣件系统参数(扣件横向刚度、扣件阻矩及扣件间距)、边界条件和初始弯曲等。

1.1 弯曲波形确定

长钢轨弯曲多波形受多种独立因素综合影响，各波幅具有正态分布性质[14]。本文取弯曲线形为连续衰减的波浪形，如图1所示。采用如图2具有正态分布性质的正矢包络线函数φ(i)描述波幅的变化规律。根据“3σ”准则选择线形参数σ使得所有的半波均落于μ±3σ内且温度力随半波数n的增加不出现突变，即波形函数包括所有半波曲线的概率为99.7%。波幅分布为中部矢度大、两端矢度小，整体波形由n-2个正弦主波和边界2个副波[15]组成。正矢包络线φ(i)函数表达式为：

图1 长钢轨弯曲变形曲线示意图Fig.1 Bending deformation curves of the long rail

图2 正矢包络线函数示意图Fig.2 Camber envelope function

主波采用连续n-2个正弦半波(n≥3)，各半波长为l，其波形函数为：

副波边界条件满足y=0,y′=0,y″=0，半波长为1.443 4l，其波形函数为：

1.2 各部分能量表征

长钢轨横向稳定性分析总能量A由5部分能量组成。

1)长钢轨弯曲部分两端直线段变形功：

令：θ=(Pt-P)/EF

2)长钢轨弯曲部分伸长变形功：

由弧长伸长量变化得出f，l与θ之间的关系为：

3)长钢轨弹性弯曲变形能：其中，t=f0/l

4)扣件阻矩采用M=Hβ1μ[5]，则扣件扭转形变能为：

5)扣件横向刚度采用Q=cyh[5]，则扣件横向变形能为：

根据势能驻值原理，由∂A/∂f=0和∂A/∂l=0分别得出温度力Pt的2个解析式：

其中：

2 碎弯变形机理分析

2.1 碎弯变形过程分析

由式(6)，式(10)～(11)建立了变数Pt，f，l，n和θ之间的关系。但未知数多2个，因此需要对矢度f和半波数n赋值，通过求解非线性方程组得出一系列Pt和l值。相关计算参数取值见表1。

表1 横向稳定性相关计算参数取值Table 1 Related parameters for lateral stability calculation

经计算得出全过程平衡路径如图3所示。随着温升幅度增加，钢轨弯曲变形矢度增大，弯曲半波长减小。在弯曲变形的初始阶段(AB段，f≤0.05 cm)，随着轨温上升，钢轨内积蓄的温度应力在有初始缺陷的薄弱环节释放，弯曲半波长显著减小。其原因为此阶段扣件横向刚度尚未充分发挥作用，轨道系统通过缩短参与能量体系的半波长来增加轨道框架刚度EI以抵抗变形；在横向变形的发展阶段(BC段)，此阶段弯曲半波长变化不大，随着弯曲正矢继续增大，扣件对钢轨横向位移发挥约束作用，此时扣件横向刚度成为抵抗变形的主要控制因素。另外，由表2可知半波数为7波以后温升幅度变化不大，这与遂渝线碎弯波数为7波相符合，并且随着半波数的继续增加，温升幅度趋于确定值，表明有碎弯的长钢轨始终处于不稳定平衡状态。

图3 长钢轨横向稳定性全过程平衡路径Fig.3 Whole-process balance path of long rail lateral stability

表2 随半波数n变化的温升幅度Table 2 Temperature rise with wave number ℃

2.2 影响钢轨稳定的各部分能量分析

由式(4)～(5)和式(7)～(9)计算得出，随着钢轨横向变形各部分能量的变化及所占比例如图4所示。各部分能量按对稳定性影响程度由大到小排列为：弯曲部分伸长变形功A2，扣件横向变形能A5，弹性弯曲变形能A3，两端直线段压缩变形功A1，扣件扭转形变能A4。当矢度f为0.2 cm时，各能量占比为54.5%，23.4%，15.3%，4.8%和2%。A2由钢轨自身材料力学性质和截面参数表征，表现为钢轨类型的自身特性，我国高速铁路统一采用60 kg/m钢轨，其伸长变形功基本相同。而A5由扣件横向刚度和扣件间距控制，扣件系统性能具有随机性。因此，扣件系统参数应为无砟轨道长钢轨稳定性的关键参数。

图4 各部分能量分析Fig.4 Energy analysis of each part

为进一步清晰表达各部分能量的影响过程，将式(10)整理后得式(12)，则可以得出各部分能量的影响系数为：弹性弯曲变形能系数s1，扣件扭矩形变能系数s2，扣件横向变形能系数s3，钢轨伸长变形功系数s4。当弯曲矢度f=0.2 cm时，各能量系数、温升幅度及半波长与半波数n的关系如图5所示。可知弹性弯曲变形能系数s1和扣件扭矩形变能系数s2对半波数影响不显著，扣件伸长变形功系数s4对半波数没有影响。而在半波数较少时扣件横向变形能系数s3变化较为显著，可知扣件横向刚度是控制半波数、影响长钢轨稳定性的主要因素。随着温升幅度和半波数的增加，各能量影响系数趋于定值，半波长显著降低，但半波数为7波后趋于稳定值。

图5 钢轨横向稳定性的半波数影响分析Fig.5 Analysis of half-wave number on rail lateral stability

2.3 长钢轨横向稳定参数影响规律分析

2.3.1 扣件刚度影响分析

半波数n取7，扣件横向刚度取Q=1 666y1.1N/cm以及在此基础上失效50%，计算结果如图6所示。扣件横向刚度对稳定性影响较为显著。变形矢度为0.02 cm时，扣件刚度衰减50%时温升幅度由52.7℃降低至34.3℃，降低了34.9%，弯曲半波长增加了21.7%。

图6 扣件刚度衰减的影响分析Fig.6 Analysis of fastener stiffness attenuation

2.3.2 扣件间距影响分析

扣件节点间距取50～72.5 cm，变化幅度取2.5 cm，半波数n取7，矢度f取0.02 cm，扣件间距a与单位纵向阻力r的关系见文献[16]，扣件间距对钢轨碎弯的影响规律如图7所示。随着扣件间距增大，长钢轨横向和纵向阻力将减小，轨道抵抗无缝线路爬行与横向变形的能力降低。当扣件间距每增加5 cm，温升幅度降低2.9℃，半波长增加9.8 cm。可知扣件间距是通过改变扣件刚度和扣件线路纵向阻力来影响无砟轨道稳定性。

图7 扣件间距的影响分析Fig.7 Analysis of fastener spacing

2.3.3 初始弯曲影响分析

取半波数n为7，矢度f为0.02 cm，初始矢长比t0为1.0×10，在此基础变化幅度取20%，计算结果如图8所示。初始弯曲对无砟轨道钢轨横向稳定性影响显著。矢长比由0增长至t0时温升幅度降低了87.4%，而t0增至2t0时降幅仅增加了4.9%。可知初始弯曲较小时对温升幅度影响较大，随着初始弯曲的增大，对温升幅度影响降低。半波长随初始弯曲的增大而增加，当初始弯曲为2t0，半波长增加了22.2%。

图8 初始弯曲的影响分析Fig.8 Analysis of initial bending

2.4 小阻力扣件影响分析

为了减少梁轨相互作用力，通常在桥上设置小阻力扣件。小阻力扣件降低纵向附加力的同时也导致横向阻力下降，使得该处成为碎弯病害的易发地段。对比分析常阻力和小阻力扣件对温升幅度的影响如图9所示。当f=0.02 cm时，常阻力扣件温升幅度为52.7℃，小阻力扣件温升幅度为32.0℃。小阻力扣件横向刚度衰减50%时温升幅度为21.2℃，降低了33.75%，可见小阻力扣件刚度衰减后抵抗钢轨横向变形能力急剧下降，极易形成微小变形，有可能进一步发展成钢轨碎弯病害。

图9 常阻力与小阻力扣件对比分析Fig.9 Comparative analysis of constant resistance and small resistance fasteners

3 无砟轨道长钢轨设计锁定轨温计算方法

3.1 允许温降计算

以北京为例，当地最高气温41.9℃，最低气温−27.4℃，最高轨温61.9℃，最低轨温−27.4℃；机车荷载取和谐号CRH380系列，最大轴重17 t，固定轴距2 700 mm，钢轨采用U71MnG钢轨，屈服强度为457 MPa，允许强度为351.54 MPa。计算得出曲线段最大钢轨静弯矩M0为80 373.7 N•mm，钢轨动弯矩Md为41 024 076.1 N•mm，钢轨动弯应力σd为134.7 MPa。取跨度40 m的钢筋混凝土等跨简支梁，采用间距为62.5 cm的WJ-7型扣件，钢轨最大附加力取线路挠曲力、伸缩力中较大值270 kN，计算得σf=34.9 MPa，由制动率0.164取σz=13.7 MPa。

综合上述，得到允许温降为：

3.2 允许温升计算

根据文献[2,5]可知，卢耀荣建议取0.01～0.02 cm为无砟轨道允许压弯变形量，饶惠明得到合福试验段钢轨横向日变形量最大值0.025 cm，且有变形累积。故本文取半波数n=7，矢度f=0.02 cm时为允许横向变形量[fu]，由式(10)计算得允许温度压力[Pu]=1 011 200 N，得出允许温升幅度[ΔTu]为52.7℃。

3.3 设计锁定轨温计算

由现行设计规范得无砟轨道设计锁定轨温为：

考虑钢轨横向稳定性及强度，得到设计锁定轨温为：

设计锁定轨温修正值取5℃，则设计锁定轨温锁定上限、下限应满足：

计算结果对比可知，按考虑钢轨横向稳定性和强度的计算锁定轨温较现行规范所得锁定轨温提高了7.6℃，且设计锁定轨温上下限均满足要求。德国无砟轨道设计锁定轨温取值比中间轨温高3℃[7]。适当提高设计锁定轨温可有效减少钢轨碎弯和轨道板上拱的风险。

4 结论

1)扣件横向变形能是总势能的主要能量，在变形的发展阶段起主要控制作用；扣件横向刚度是控制半波数、影响长钢轨稳定性的主要因素。扣件刚度衰减50%，横向温升幅度降低34.9%，弯曲半波长增加21.7%。

2)扣件间距与初始弯曲矢度对长钢轨横向稳定性有显著影响。扣件间距每增加5 cm，温升幅度降低2.9℃，半波长增长9.8 cm。初始弯曲矢度应尽量控制在较小范围内，以降低发生钢轨碎弯的风险。

3)桥上使用小阻力扣件的长钢轨产生碎弯病害的风险进一步增大。桥上小阻力扣件刚度小，当横向刚度衰减50%时允许温升只有21.2℃，极易造成横向微小变形，变形进一步累积将导致钢轨碎弯的发生。

4)考虑横向稳定性和强度的设计锁定轨温较现行规范提高了7.6℃。提高设计锁定轨温后，钢轨强度和稳定性检算均满足要求，且能有效降低发生钢轨碎弯病害的风险。