黄婷薇，张 闪

(1.四川工商学院 计算机学院，四川 成都 611745；2.南京财经大学 应用数学学院，江苏 南京 210023）

生态数学中，如下的非线性椭圆方程组

常被用来描述固定区域中处于竞争状态种群的动力学行为,其中u,v表示竞争种群的密度；Ω ⊆Rn为Rn中具光滑边界的有界区域；函数f,g表示种群的自然增长率；k为描述种群间竞争强度的一个正参数。

1994 年，Dancer 和Du 研究了k→∞时,方程组(1)解的渐近行为[1],证明了系统(1)的解(uk,vk)在H1弱意义下收敛到向量值函数()u,v，且对于a.e.x∈Ω,u,v=0。这就表明奇异极限u,v在Ω 中的支集相互分离。注意到奇异极限的零点集

是一个自由边界。因为和是未知函数，Γ(u,v)预先不确定，随着解的变化而改变。

此后这一相分离现象，被众多的学者所关注。Conti，Terracini 和Verzini[2],Caffarelli，Kara-Khanyan 和Lin[3]，Tavares 和Terracini[4]研究了多种群竞争系统在强竞争下解的渐近行为，证明了解关于竞争参数的一致界估计，奇异极限的Lipschitz 正则性以及自由边界的正则性。Dancer，Wang 和Zhang[5,6,7]将上述结果推广到了相应的抛物情形。

在系统(1)以及前面提到的文献中，总假定种群所处的环境是均匀的，且种群的扩散是生物学意义上的随机游走。然而，当种群处于某个特定的非均质环境中，种群不能完全忽视周围的环境。事实上，种群会感知所处环境，诸如气候，食物和捕食者等。它们会通过趋向性运动迁徙到较为适宜的生存环境。换句话说，种群的扩散由是随机游走和有趋向的迁徙两部分构成。为了研究趋向运动对种群空间行为的影响，文献[8]考虑了如下的反应扩散对流方程组：

其中常数b,c>0，Q=Ω×(0,+∞)，m=m(x)为种群在x处的局部增长率。在……