林 记

（阜阳师范大学 数学与统计学院，安徽 阜阳 236041）

0 引言

同调是拓扑空间的代数刻画。将代数拓扑中的复形、同调群以及边缘等概念引入纯代数的领域，从而形成了代数学中的一个新的研究方向，称之为同调代数。同调与同调函子是同调代数的核心部分。复形是具有分次结构的微分群，是研究同调的有力工具。阿贝尔范畴是一个特殊的正合范畴，从阿贝尔范畴出发我们可以构造复形范畴，这也是阿贝尔范畴。在阿贝尔范畴中，可以通过正合性分析产生各种代数和几何不变量，如同调群和上同调群。扩张的研究源自乘法群的扩张，从形式上看这是一个短正合列。Yoneda 将短正合列通过适当的方式粘合后定义了长正合列，并由此得出了导出函子[1]。扩张是研究同调函子的重要工具[2-4]，利用复形的扩张可以证明遗传阿贝尔范畴的有界复形范畴的同调维数是局部有限的[5]。本文主要研究有界复形的扩张的若干性质。

1 有界复形的同调维数

首先回忆本文所需的同调代数的基本概念[1-4]。

设A是阿贝尔范畴，用Cb(A)表示A上的有界复形范畴。

定义1设A∙,C∙∈Cb(A)。若存在复形的长正合列

定义3若两个从A∙到C∙的n阶扩张S与S′之间存在一系列态射

S=S0→S1←S2→…←S2k-2→S2k-1←S2k=S′,且这些态射均具有(1A∙,…,1C∙)的形式，则称S与S′是等价的，记作S≡S′，并将从A∙到C∙的n阶扩张的等价类构成的集合记作

定义4[5]设A∙∈Cb(A)。如果存在整数d，满足对任意C∙∈Cb(A)都有

那么称复形A∙的同调维数不超过d。

设X∈A,m∈ℤ。以下用UX,m表示X位于第m次齐次分支的stalk 复形，KX,m表示如下无环复形