2021年普通高等学校招生全国统一考试(乙卷理)第21题分析

2021年高考数学全国乙卷理科第21题意境深远，坚持熟而不俗、俗而不易、稳中求变、变中出新的命题初心，科学把握必备知识与关键能力的关系，全面体现了基础性、综合性、应用性和创新性的考查要求.

【例1】(2021·全国乙卷理·21)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，且F与圆M：x2+(y+4)2=1上点的距离的最小值为4．

(1)求p；

(2)若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值．

【亮点】几何背景下的最值或取值范围问题，其实就是求函数的最值或值域问题，所以解题的关键是根据几何关系建立目标函数.怎么建立？特别是问题本身比较复杂抽象时，我们就需要深入分析，剥丝抽茧，厘清变化的脉络，弄清楚目标函数、自变量及其依赖关系，包括自变量的变化范围，然后建立函数模型并恰当的解模.

【相似性与差异性对比分析】本题以著名的阿基米德三角形为背景考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系等知识，2008年山东理科第22题也是以阿基米德三角形为背景考查直线与抛物线的位置关系，两题背景相同，出发点相同，也有异曲同工之妙.

相似性与差异性对比分析

【命题角度】本题考查抛物线的标准方程和直线与抛物线的位置关系等知识，第(1)问根据圆的几何性质可得出关于p的等式，即可解出p的值；第(2)问设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，利用导数求出直线PA，PB的方程，进一步可求得直线AB的方程，将直线AB的方程与抛物线的方程联立，求出|AB|以及点P到直线AB的距离，利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得△PAB面积的最大值.

【映射课程标准】本题创设了阿基米德三角形情境，通过创设情境，考查直线与抛物线的位置关系，激发学生学习和探究的兴趣，逐步揭示数学产生和发展的脉络，引导学生解决问题，解题的思路是抓住直线与抛物线相切这一核心关系，通过建模与解模实现解题目标.

【数学思想方法】解题中应用了数形结合、等价转化、设而不求，整体代换、函数与方程等数学思想方法，从而突破了运算中的难关.

【考查能力】考查运算求解、抽象概括和推理论证等数学能力.

【考查素养】考查数学抽象、数学建模、逻辑推理和数学运算等数学核心素养.

设点A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)，

同理可知，直线PB的方程为x2x-2y2-2y=0,

所以A，B两点的坐标满足方程x0x-2y-2y0=0，

可得x2-2x0x+4y0=0，

由韦达定理可得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，

由已知可得-5≤y0≤-3，

所以当y0=-5时，

【相似题源】(2008·山东卷理·22)如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0),M为直线y=-2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.

(1)求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；

【作者单位、姓名】陕西省宝鸡市麟游县中学 韩红军

2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)第16题分析

【亮点】本题引导学生关注优秀传统文化，很好地落实了“立德树人，服务选才，引导教学”的核心功能，坚持高考的核心价值，突出学科特色，重视数学本质，发挥了数学学科高考的选拔功能，对深化中学数学教学改革发挥了积极的导向作用.本题以学生在初中接触过的折纸问题为背景，考查合情推理、利用错位相减法求数列的和，实际上类似于初中数学中的找规律题，但有所创新，在常规试题中植入传统文化，让学生在读题中感知数学应用的广泛性，在解题中渗透德智体美劳等五育及应用创新意识.

【对比分析与往年试题的相似性及差异性】

1.(2017·全国卷Ⅱ理·3)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯

( )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

( )

3.(2020·全国卷Ⅱ理·4)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)

( )

A．3 699块 B．3 474块

C．3 402块 D．3 339块

4.(2020·全国卷Ⅰ理·17)设{an}是公比不为1的等比数列，a1为a2，a3的等差中项．

(Ⅰ)求{an}的公比；

(Ⅱ)若a1=1，求数列{nan}的前n项和．

上面几道试题与本题有相似性，特别是例1、例2、例3都是以数学文化为载体，考查数学建模、等差数列或等比数列，例4考查利用错位相减法求数列的和.本题与上面四题也有明显的差异性，本题在知识的交汇点出题，综合考查学生的“四基”“四能”和数学核心素养.

【命题角度】本题以我国传统文化剪纸艺术为背景，考查学生对数学建模、等差数列、等比数列、合情推理和演绎推理等基础知识的应用，在体现学科间知识渗透和交叉的同时，重在考查应用数学知识解决实际问题的能力，解题的关键是利用合情推理找规律、考点定位及模型的建构．积极落实中共中央国务院《深化新时代教育评价改革总体方案》提出的：稳步推进中高考改革，构建引导学生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械刷题”的现象.

【映射课程标准】

①引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界；

②认识数学的科学价值、应用价值、文化价值和审美价值；

③数学建模活动是基于数学思维运用模型解决实际问题的一类综合实践活动，是高中阶段数学课程的重要内容.

【考查能力】让考生体验从特殊到一般的探索数学问题的过程，重点考查考生灵活运用数学知识分析问题的能力，考查阅读理解能力、空间想象能力、化归与转化能力、从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力、运算求解能力.

【考查素养】对数学抽象和逻辑推理素养要求较高，需要通过实际情境构建递推关系，第一空作为过渡，第二空考查一般的情况，体现了从特殊到一般的数学思想，同时也考查了数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学核心素养.

第一步，审题，要抓住关键词——对称轴，从而联想到要分横轴、纵轴两种情形分类考虑；

第二步，从特殊到一般，进行合情推理.通过直观想象、数据分析等，合理利用图式化，图式化就是形式内容的内化过程，其结果是一种心理意义，即心理结构，如图：

得出对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5.

第三步，归纳、猜想，数学建模.

【备考建议】

(1)注重课标，科学制定复习计划

教师应淡化自认为的“经验”，不唯经验论，应围绕唯一的命题依据——《普通高中数学课程标准(2017版2020年修订)》制定复习计划，明确高考考试范围、目标、要求，以核心素养为导向，在复习中不留盲点.特别是一些不常考的内容和形式，正是学生不重视的薄弱部分，更要加强复习.

(2)注重教材，落实“四基”“四能”

近几年的全国高考数学卷中，有很多基本题目是由教材问题稍加改造而成的，还有一些较难的题目是在挖掘教材问题吸收组题思想的基础上加工、组合而成的.例如，本题就是由人教A版高中数学必修5(2007年1月第3版)第54页第4题改编、拓展而成的.具体题目如下：

如果能将一张厚度为0.05 mm的报纸对折，再对折，再对折……对折50次后，报纸的厚度是多少？你相信这时报纸的厚度超过了地球和月球之间的距离了吗？

此外，在复习教学中重视教材、回归教材的另一个重要意义是：加强概念、公式、定理等重要知识及重要思想方法的联系，以提升理解的深刻性、运用的灵活性.“数学科学是一个不可分的有机整体，它的生命在于各个部分之间的联系.”本题打通了知识间的联系，因而显得“活”，需要“想”.因此2022年的数学复习不要钻难题，要注重“四基”(基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验)和“四能”(发现问题的能力、提出问题的能力、分析问题的能力、解决问题的能力)，立足于教材的基本概念、基本内容、重要方法，把通法搞清楚，淡化技巧，注重应用，学习开放，研究创新.要跳出过去那个记题型、记结论，记套路，反射式的、拼命刷题式的复习方案，因为我们培养的是生动的、有创新的、有能力的年轻人.

(3)注重知识整合和情境设置，促进深度学习

一轮复习不是对已学知识的简单重复和强化，而是一个再学习、提高综合运用能力的过程．我们要从一节课中跳出来，进行主题式教学(深度学习)设计和实施，把握数学本质，重视情境创设和问题提出，注重主题(单元)教学，促进深度学习.深度学习活动设计的基本特征就是学生的主动学、高阶思维的参与、学生创造性思维的发展.因此，教师在单元整体设计时要注重知识整合和情境设置，要多联系生活实践，注重培养学生应用数学的意识，让学生了解数学在当今时代的重要地位，以激发学生学习的兴趣，树立正确的学习目的；还要加强对数据整理、加工分析、解读能力的考査，充分培养学生数学建模能力和信息处理能力.教师在活动设计时可以利用“问题链”，采用问题引领，让学生独立思考并且将其思维外显、思维可视，让学生充分地表达思考过程，教师再在学生思考的基础上梳理、提炼、形成解决问题的一般方法和思路.

【作者单位、姓名】江苏省无锡市第六高级中学 王雅

江苏省锡市青山高级中学 张启兆

2021年普通高等学校招生全国统一考试(新高考Ⅰ卷)第22题分析

【例2】(2021·新高考Ⅰ卷·22)已知函数f(x)=x(1-lnx)．

(1)讨论f(x)的单调性；

【亮点】该试题的亮点主要体现在下列几个方面：

(1)以基本函数y=lnx为背景命制导数及其应用试题，是高考命题的重点和热点，且常考常新，该题就是以基本函数y=lnx为载体，第一问考查导数研究函数单调性中的应用；第二问给定条件，考查不等式证明.

(3)高考考查极值点偏移问题由来已久，该试题第二问本质上考查的就是极值点偏移问题(隐性).

(4)试题设置简洁、精炼，直面重点、热点，熟背景、入手易、方法多、得高分难，充分反映高考压轴题把关、定向的作用.

【相似性与差异性的对比分析】(2020·新高考Ⅰ卷(供山东使用)·21)已知函数f(x)=aex-1-lnx+lna.

(1)当a=e时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；

(2)若f(x)≥1，求a的取值范围.

2021年是数学全国新高考Ⅰ卷启用的第2年，分析2020年和2021年新高考Ⅰ卷导数及其应用试题可以发现，2021年第22题导数试题在延续2020年第21题的命题风格的基础上，又进行了很大程度的创新，对比两年导数试题的相似性与差异性，对今后使用数学新高考Ⅰ卷地区师生的复习备考具有重要的启迪意义.

【映射课程标准】《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《课程标准》)对导数及其应用的总体要求是：通过丰富的实际背景理解导数的概念，掌握导数的基本运算，运用导数研究函数的性质，并解决一些实际问题.具体到单调性，进一步作了这样的阐述：了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性；体会导数与单调性的关系.可以说，函数单调性是导数研究函数最主要的性质之一，而2021年新高考Ⅰ卷第22题则将其诠释得淋漓尽致！第(1)问f(x)的单调性自不必多说，就第(2)问而言，要证明不等式，需要将已知条件的等式变形转化，构造函数，求导，而后利用导数研究函数的单调性证得不等式，无论是从哪个视角切入，也无论运用什么样的方法技巧，构造函数，求导，利用导数研究函数的单调性，都是必经的过程.因此，2021年新高考Ⅰ卷第22题最大程度映射、吻合了《课程标准》的要求，这也提醒我们，新一届高三师生在复习备考的过程中，务必认真研读《课程标准》，弄清楚哪些知识是了解、哪些知识是理解、哪些知识是掌握、哪些知识是应用.唯有吃透《课程标准》要求，教师在指导学生复习中才能避免走弯路，提高复习的针对性.

【考查能力】高考数学注重对数学能力的考查，2021年新高考Ⅰ卷第22题充分落实对数学能力的考查，第(2)问求解中将已知等式变形整理化为同构式，然后抽象出方程的根，进而构造函数利用导数研究函数的单调性等，考查抽象概括能力；通过不等式的证明考查推理论证能力；第(1)，(2)问导数的运算考查运算求解能力；第(2)问将已知条件“同构化”，将极值点偏移“隐性化”，考查创新意识.总之，本题在突出对能力考查上具有很强的典型性.

【考查素养】2021年新高考Ⅰ卷第22题以素养为立意命题，对数学核心素养的考查在该题得到切实落实.第(2)问将已知等式“同构化”，构造函数求导等，考查数学抽象及数学建模素养；不等式转化、推理、证明考查逻辑推理素养；求导、利用导数研究函数单调性，考查数学运算素养.高考强化对数学核心素养的考查，因此，新一届高三复习备考中，在对高考命题规律分析时，不能忽视对核心素养的考查.关注了核心素养考查的变化趋势，也就是关注了高考的命题趋势.