廖 秀

(桂林信息科技学院 数学教研部，广西 桂林 541004)

0 引言

随着微分方程的发展，分数阶微分方程已广泛应用于控制系统、流变学、粘弹性力学等诸多领域[1]。目前，关于分数阶微分方程的研究已经取得了许多成果[2-17]。但是，近年来学者们对带有积分边值条件的奇异微分方程正解存在性的研究还是比较少的。奇异分数阶微分方程有着实际的应用价值，该类微分方程是如今学者们研究的热点。因此，本文的研究有着重要的意义。

Zhang X 等人[10]708运用不动点指数定理证明了如下边值问题多个正解的存在性：

白占兵[1]82运用序列化和正则化技巧证明了如下奇异分数阶Dirichlet边值问题正解的存在性与解序列：

Stank S[11]1379运用锥不动点定理讨论下面边值问题解的存在性：

受以上文献的启发，本文运用序列化和正则化等技巧研究边值问题

A2：对几乎所有的t∈(0,1),f(t,.,.)∶(0,+∞)×→(0,+∞)×连续；

A3：对任意的紧集F⊂(0,+∞)×,存在函数gF∈L1[0,1]使得对几乎所有的t∈[0,1]和所有的有

1 预备知识

Riemann-Liouville分数阶导数的一些定义以及相关引理如下。

定义1[10]709函数x∶[0,1]→的β>0阶Riemann-Liouville分数积分定义为

其中等式的右端在[0,1]上有定义。

定义2[10]709函数f：[0,∞]→的α>0阶Riemann-Liouville分数积分定义为

其中：等式的右端在[0,1]上有定义；n-1<α≤n。

u(t)=C1tα-1+C2tα-2+…+Cntα-n，

其中：Ci∈(i=1,2,…，n)；n-1<α≤n。

对任意Ci∈(i=1,2,…，n)成立，其中n-1<α≤n。

1)‖F(x)‖≤‖x‖,∀x∈∂Ω1；‖F(x)‖≥‖x‖,∀x∈∂Ω2；

2)‖F(x)‖≥‖x‖,∀x∈∂Ω1；‖F(x)‖≤‖x‖,∀x∈∂Ω2，

等价于积分方程

其中

证明根据边值问题(2)可知，

对公式(3)两边积分及由引理2得

对上式两边积分并计算得到

又因为

综上所述，当t≥η时，边值问题(2)的解表示为

当η≥t时，边值问题(2)的解表示为

引理7若引理6中的假设条件成立，引理6的Green函数具有以下性质：

1)∀(t,s)∈(0,1]×(0,1],G(t,s)是连续函数且G(t,s)>0;

2)∀(t,s)∈(0,1]×(0,1],有

证明首先根据引理6中G(t,s)的表达式，当0