卢 锦,陶筱娇

(陕西科技大学 电子信息与人工智能学院,陕西 西安 710021)

0 引言

复杂背景下的非线性调频信号瞬时频率估计是微弱机动目标检测与跟踪的关键[1-4].现有的非线性调频信号估计方法一般有两类:非参数方法和参数方法.典型的非参数方法如文献[5,6],采用时间尺度或时频分布的脊能量估计非线性调频信号的瞬时频率曲线.此种方法能够避免信号模型的失配,但其性能高度依赖观测的时频分布.贝叶斯方法是一类典型的参数方法.贝叶斯方法首先将目标状态近似为随时间变化的状态序列,再利用贝叶斯算法,如卡尔曼滤波、粒子滤波等顺序地从观测数据中估计目标状态[7-12].此类方法可准确估计目标状态,但贝叶斯方法完全依赖于背景的统计信息.因此对于复杂背景噪声下或未知背景噪声下的非线性调频信号估计问题,贝叶斯类方法的性能会下降.

代价参考粒子滤波算法(cost-reference particle filter,CRPF)是一类新的粒子滤波算法[13-19].其与粒子滤波结构相似,但采用代价衡量样本.样本代价可根据使用场景定义,不依赖于系统的统计信息.因此,CRPF 可估计未知背景下的非线性调频信号.在文献[15]中,我们提出了前-后向CRPF(forward backward CRPF,FB-CRPF),将前向CRPF在最后时刻的估计结果作为后向CRPF 的先验信息.该方法大大提高了后向CRPF 的先验信息精度,因而后向CRPF 的估计性能大幅提高.但FB-CRPF 包括前向CRPF 和后向CRPF 两个过程,其运行时间是常规粒子滤波算法的两倍.

针对FB-CRPF运行时间长的问题,本文提出一种基于CRPF 的滤波器组:CRPF bank.CRPF bank具有完全的并行结构,可提高CRPF 估计精度,达到与FB-CRPF 相当的程度,但运行时间远小于CRPF和FB-CRPF.CRPF bank包括若干并列的CRPF,各CRPF 相互独立,在不同的状态空间内估计非线性调频信号的瞬时频率.各个CRPF运行结束后,比较各个算法的累积代价,将累积代价较小的CRPF 的输出作为滤波器组的输出.仿真结果表明,与CRPF 和FB-CRPF 相比,CRPF bank估计精度更高,运行时间更短.

1 状态空间模型

非线性调频信号估计问题可描述如下:假设在观测时间[0,T]s内,观测信号z(t)是未知的非线性调频信号s(t)与未知的背景噪声w(t)的混合,如式(1)所示,要求从观测信号z(t)中估计未知信号s(t)的瞬时频率f(t),f(t)=先验信息为f(t)∈[fmin,fmax].s(t)如式(2)所示.式中,a(t)表示s(t)的幅度,2πφ(t)是s(t)的相位.

由于CRPF bank也是一类粒子滤波算法,因而需要建立状态空间模型来实现算法.本文采用与文献[15]类似的状态空间模型.

将观测时间划分为K段等长的子区间,子区间长度ΔT=T/K.每段子区间内的观测信号记为z(t1),z(t2),…,z(tK),tk∈[(k-1)ΔT,kΔT].相应地,第k段子区间内的信号和噪声分别记为s(tk)和w(tk).在第k段子区间内,假设信号s(tk)为等幅度的线性调频信号,用幅度ak,左端频率fk和调频率rk描述该段线性调频信号.则观测方程如式(3)所示.

相应的系统方程如式(4)所示,通过将瞬时频率曲线f(t)在t=ΔTk泰勒展开获得[15].

式(3)和式(4)即是为CRPF bank建立的状态空间模型.在实际应用中,对观测z(t)以采样时间ts进行采样,则z(tk),s(tk)和w(tk)均成为L维的向量,分别记为zk,sk,wk,L=ΔT/ts.此时式(3)记为:

式(5)中:L=0,1,…,L-1.

基于式(4)和式(5)的状态空间模型,非线性调频信号的瞬时频率估计问题转化为从观测序列ZK={z1,…,zK}中估计状态序列X={x1,…,xK}.

2 状态空间划分

根据式(4)的系统方程,可推测调频率rk的均值的范围,如式(6)所示.式(6)表明,在分段线性调频信号的假设下,信号在各个时段内的调频率的均值相等.

此外,根据式(4)中各个时刻左端频率fk的转移关系,可得左端频率和调频率的关系如式(7)所示:

式(8)表明,信号调频率的均值¯r可由相邻时刻的左端频率估计.更进一步,可得:

式(9)表明,可通过目标在初始时刻和最后时刻的调频率来估计目标的调频率的均值¯r的可能范围.根据先验信息,有fK∈[fmin,fmax]和f0∈[fmin,fmax],则调频率的均值¯r的可能范围如式(10)所示.

实际中,对于状态空间模型(4)-(5)描述的滤波问题,瞬时频率的先验信息f(t)∈[fmin,fmax]往往范围较大,则相应的调频率范围也较大,如式(10)所示.此种情况下常规的CRPF 需要大量样本,且收敛慢.这是CRPF 估计准确性差、运行时间长的主要原因.针对该问题,FB-CRPF首先执行一个常规的前向CRPF,将前向CRPF最后一帧的样本作为后向CRPF 的初始样本.则后向CRPF的先验信息更加精确,因而后向CRPF 收敛更快,估计准确性更高.将后向CRPF 的输出作为FBCRPF的滤波结果,因而FB-CRPF 的估计准确度远高于常规的CRPF.但FB-CRPF 包括序贯的两个CRPF,其运行时间是常规CRPF的两倍.

FB-CRPF提示,若能在滤波算法执行前就获得更精确的先验信息,则CRPF 需要的样本数将极大减少,从而可在提高常规CRPF 估计精度的同时,极大缩短其运行时间.本文提出如下的方法获得更准确的先验信息:将第1段回波信号s1的左端频率的可能范围划分为较小的子区间.根据先验信息f(t)∈[fmin,fmax],则s1左端频率f0∈[fmin,fmax].将[fmin,fmax]划分为M个子区间,记为[fmin,f1]∪[f1,f2]∪… ∪[fM-1,fmax],如图1所示.

图1 初始时刻的多普勒频率范围划分为M个子区间

以第m个子区间[fm-1,fm]为例.假设s1的左端频率f0∈[fm-1,fm],可从式(9)推测出对应的调频率的均值应满足:

图2比较了原有的先验信息f(t)∈[fmin,fmax]及式(11)表示的瞬时频率的范围.图2中阴影部分对应式(11)的瞬时频率范围,方形区域为先验信息f(t)∈[fmin,fmax]确定的瞬时频率的范围.图2表明,将第1段子区间内回波信号s1的左端频率的可能范围划分为较小的子区间,可以有效缩小非线性调频信号的瞬时频率的可能范围.

图2 第m 个初始子区间[fm-1,fm]对应的子区域

图1中的M个子区间对应M个较小的状态估计范围.在各个子空间内并行地执行CRPF,此即为CRPF bank的基础.

3 CRPF Bank

基于第3 部分状态子空间的划分,本节介绍CRPF bank,其结构如图3所示.在图3中,CRPF-1、CRPF-2,…,CRPF-M分别表示对应图1 中M个子区间的CRPF.分别表示第1个,第2个,…,第M个CRPF的累积代价.比较M个累积代价,标记累积代价最小的CRPF,并将该CRPF 的估计结果作为CRPF bank 的估计结果.

图3 基于CRPF的非线性滤波器组

4 仿真结果及分析

本节通过如下的测试信号z(t)来评估CRPF bank的性能,z(t)如式(18)所示.式中s(t)为未知的非线性调频信号,w(t)为未知的观测噪声.本节仿真中,设w(t)为服从方差为1,形状参数为0.5的复广义高斯分布[20].s(t)如式(19)所示,参数设置为b∈(0,1),v,μ,γ,ϑ∈[-20,20],t∈[0,1]s.s(t)的多普勒频率f(t)如式(20)所示,调频率r(t)如式(21)所示,观测z(t)的信噪比如式(22)所示.

本节通过估计s(t)的瞬时频率来比较CRPF、FBCRPF、CRPF bank等几种方法,并分析该CRPF bank的性能.CRPF与常规粒子滤波算法相似;FB-CRPF是CRPF 的改进,包括序贯的前向CRPF 和后向CRPF,将前向CRPF在最后时刻估计的样本和代价作为后向CRPF的初始信息,因而后向CRPF的估计精度得到很大提高.但由于FB-CRPF包括序贯的前向CRPF和后向CRPF,因而其运行时间较长.三种方法均采用式(12)和(14)的风险和代价函数.在仿真中,设观测时长T=1 s,采样时间则观测序列长度为512,将其划分为16段,即K=16.

第一个仿真比较CRPF,FB-CRPF 和CRPF bank的估计性能和运行速度.CRPF、FB-CRPF的样本数设为N=300.对于CRPF 和FB-CRPF,其先验信息为f(t)∈[-80,80]Hz.对于CRPF bank,在初始时刻将f(t)∈[-80,80]Hz划分为16个子区间,设置16个并行的CRPF,每个CRPF的样本数设为N=30.图4是SNR=-10 dB、信号参数b=0.6 时,三种的估计结果.采用J=10 000次仿真的均方根误差衡量3种方法的滤波性能.每个观测时段的均方根误差如式(23)所示.

图4 常规CRPF、FB-CRPF与CRPF bank的状态估计性能比较(SNR=-10 dB,b=0.6)

表1是CRPF、FB-CRPF 和CRPF bank在同一平台上的平均单次运行时间.CRPF的单次运行时间为样本数N=300时估计某个s(t)的瞬时频率的时间;FB-CRPF的单次运行时间为样本数N=300时估计某个s(t)的瞬时频率的时间,包括前向CRPF 的运行时间和后向CRPF 的运行时间;CRPF bank包括16个并行的CRPF,因此其单次运行时间是样本数N=30时,一个CRPF 估计某个s(t)的瞬时频率的时间.表1表明,CRPF bank的运行速度比FB-CRPF 快约20 倍,比CRPF 快10倍.

表1 CRPF,FB-CRPF和CRPF bank的单次运行时间比较

第二个仿真分析样本数对CRPF bank性能的影响.图5是SNR=-10 d B,信号参数b=0.6时,CRPF、FB-CRPF的估计误差随样本的变化情况,以及子区间数M=16时CRPF bank的估计误差随样本数的变化情况.采用均方根误差在观测时间上的平均来分析CRPF、FB-CRPF 和CRPF bank的滤波性能随样本数的变化情况,如式(24)所示.式(24)中RMSE(k,j)的计算如式(23)所示.图5中的横坐标为常规CRPF和FB-CRPF的样本数,CRPF bank的样本数在图5中用箭头标出.仿真结果表明,随着样本数的增加,3种方法的性能都有所提高.对于CRPF和FB-CRPF,其性能在样本数N=300左右时基本稳定;对于CRPF bank,其性能在样本数N=30左右时基本稳定.因此,增加样本数可以一定程度提高3种方法的性能,但3种方法的滤波性能不会随着样本数一直增加.

图5 样本数对常规CRPF、FB-CRPF和CRPF-bank的滤波性能的影响(SNR=-10 dB,b=0.6)

第三个仿真分析初始时刻的频率分段情况对CRPF bank滤波性能的影响.图6是初始频率区间[-80,80]Hz分别划分为4个子区间、8个子区间、16个子区间、17个子区间时CRPF bank估计误差,误差的计算如式(24)所示,SNR=-10 dB,信号参数仍取b=0.6.图6表明,初始时刻频率的子区间越多,CRPF bank的滤波性能越好.此外,图6表明,初始多普勒子区间越小,达到稳定性能CRPF bank 所需的样本数越小.样本数量决定CRPF bank中CRPF 的单次运行速率.样本数越少,CRPF bank中的CRPF单次运行时间越短.

图6 初始多普勒频率区间分段情况对CRPF bank性能的影响(SNR=-10 d B,b=0.6)

第四个仿真分析观测信号幅度的起伏情况对CRPF bank的影响.图7所示为式(19)中参数b=0,0.1,0.2,…,0.9时,CRPF、FB-CRPF 和CRPF bank方法的平均均方根误差随b的变化情况.平均均方根误差的计算如式(24)所示,仿真次数J=10 000,CRPF、FB-CRPF的样本数N=300,CRPF bank的初始子区间数M=16,样本数N=30,SNR=-10 d B.仿真结果表明,随着回波信号幅度起伏的加剧,3种方法的滤波性能都会下降.

图7 三种方法的滤波性能随观测信号幅度起伏的变化

5 结论

本文提出了具有完全并行结构的CRPF算法,即CRPF bank.CRPF bank 包括若干CRPF,这些CRPF的先验信息由使用者划分的初始子区间确定.相较原来的先验信息,CRPF bank 中的各个CRPF的先验信息更详细.最后,比较CRPF bank中各个CRPF的累积代价,认为累积代价最小者的先验信息最接近真实的先验信息,将其对应的估计结果作为CRPF bank的最终估计结果.仿真结果表明,CRPF bank可达到与FB-CRPF相当的状态估计性能,且运行时间较FB-CRPF大幅减少.