杨伟达

(广东省广州市花都区第二中学 510800)

一、题目再现

图1

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

考点分析本题考查了线面垂直的证明及二面角的大小. 知识考点覆盖了立体几何的核心知识.包括圆锥定义、性质、正三棱锥、线面垂直判定及二面角大小等；从思想方法和数学素养层面看，需要具备较高的直观想象、逻辑推理、转化与化归、运算求解、数形结合等，同时还需要学生稳定的心理素质.

二、思路探究及解答过程

1.题目已知条件是什么？结论是什么？并在图中作标注

一个图中图即圆锥里面套着一个正三棱锥.第(1)问是证明线面垂直；第(2)问是求二面角大小.本题涉及圆锥、正三棱锥、圆内接等边三角形、圆锥母线与圆直径相等、圆锥和三棱锥高的数量关系，分别标注于几何体中.

2.常见相关类型题目及解题思路

有关线面垂直的判定定理其实就是在平面内找两条相交垂线，关键是证明线线垂直；有关求二面角大小常见方法是建立空间直角坐标系，利用坐标运算求法向量，用数量积求解即可，这是教师常见的固化思维.

3.思维障碍

观察图形，本题线条比较多，容易产生错觉，不少学生比较陌生，图形转换困难.原因是不会利用图形转换，导致线线垂直没有经过详细的推理证明，没有求出相关数值，也没有勾股定理的身影，从而不少学生想当然认为空间中两条直线垂直；其次第二问需要建立空间直角坐标系时，点P，B，C，E的坐标很关键、求法向量运算容易出错.