谢贤祖

(华南师大附中汕尾学校 516600)

一、源于教材，高于教材

在原来的旧教材人教A版选修2-2中，对复数的模长与共轭提及甚少，只是简单的介绍，不太重视.而在2019年人教A版第二册中，复数的地位得到提升，不仅给出了求复数模长的训练题，还给出了与数形结合有关的思考题；在2019年全国Ⅰ卷数学试卷中，选择题第2题复数也改变了以往的常规考法，创新了命题方式，2020年的全国Ⅰ卷理科15题也是.具体题目展示如下，由于题目简单，详细解答略.

例1(2017人教A版第二册72页)在复平面内z对应的点为Z，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？(1)|z|=1;(2)1<|z|<2.

例2 (2019全国Ⅰ卷第2题)z满足|z-i|=1，z在复平面内对应的点为(x,y)，则( ).

A．(x+1)2+y2=1 B．(x-1)2+y2=1

C．x2+(y-1)2=1 D．x2+(y+1)2=1

在新教材2019年人教A版第二册中则增加了复数的三角表示，而且内容详实，“三角表示”本是竞赛数学的内容，如今也渐渐走入教材，无不凸显复数地位的提升. 复数本身就是沟通向量与三角函数的重要载体，所以对其进行深入学习，无论是对自招与竞赛考试而言，还是对有志参加强基计划的学生来说，都是大有裨益. 如果只是应对高考，课本知识足矣.但要应对更难的题目还远远不够.下面补充一些课本未曾提及的复数模长与共轭的性质.

二、共轭复数的重要性质

三、自主招生与竞赛真题解析

例6 (2020浙江高中数学联赛初赛)已知复数z满足|z|=1，则当|1+z+3z2+z3+z4|取得最小值时，复数z=____.

例7 (2020新疆高中数学联赛预赛)复数z满足|z|=1，则|1+iz+z|的最小值为____.

总结本题综合性强，用到了很多丰富的结论，现总结如下.

(1)实系数一元……