沈凯

【摘要】数学理解是数学知识与数学能力之间的桥梁，在教与学中均有重要意义.它存在于教学过程之中，在教学结果中也得到了体现.数学理解是提高数学学习效率的重要途径，它也可以避免大量的、重复的题海战术.本研究以一节新授课为例，在学生原有认知的基础上运用基本知识和学科原理构建新知识.

【关键词】数学理解;认知结构;关系性理解

一个数学的概念和方法或事实被理解了，那么它就会成为个人内部知识网络的一部分……理解的程度是由联系的数目和强度来确定的.教学大纲将教学目标分为了解、理解、掌握、灵活运用四个层次，可见理解是数学学习中的一个重要目标.教学大纲对理解也作了如下定义：对概念和规律（定律、定理、公式、法则等）达到了充分且理性的认识，不但能够用自己的语言准确地表达其内容是什么，而且能够知道它们是怎样得到的，以及它们与概念之间有什么关联.

数学的理解主要是强调在原有理解的基础上，运用基本知识和学科原理框架对新知识建构新的认知.理解性学习重在获得对基本概念和原理的深层次理解，是一种高效的学习，也是有意义的学习.学习过程的本质是理解的探索和发展，而不是事实内容的记忆和积累，因此，关注学生学习的过程，促进其深层次的理解是很重要的一个步骤.

中学数学教师的教学设计应侧重发展学生的理解，而不仅仅是传授知识.教师在教学过程中应了解学生的智能特点，充分理解学生的认知特点，在学生已有经验和思路的基础上，采用合适的方法促进学生对数学对象的深层次理解.

一、问题提出

“函数的奇偶性”本质上是用数学语言来刻画一个函数图像本身是否关于y轴对称或关于原点对称.笔者在学生初中阶段已有知识的基础上进行了如下教学设计.

在直角坐标系中作出函数f（x）=x2的图像.

问题1：函数f（x）=x2的图像具有对称性吗？

生：函数f（x）=x2的图像关于y轴对称.

问题2：函数f（x）=x2的图像为什么关于y轴对称？

生：我們初中就学过了，因为如果我们将f（x）=x2的图像画在一张纸上，再沿着y轴将这张纸折叠，那么y轴右边的图像将会与y轴左边的图像完全重合.

在肯定学生回答的基础上，教师继续提出问题3：如何用数学语言来准确刻画函数f（x）=x2的图像是关于y轴对称的呢？

生：……（课堂鸦雀无声）

二、问题分析

学生对对称真正了解吗？学生对对称的认识还停留在初中阶段，即翻折后折痕一边的图像与另一边重合，或者绕着某个点旋转180°后与原图形重合.这符合初中生的认知水平，也是对于对称现象的一种感性认识.学生能从图形的角度感受对称现象的发生，并且获得对于对称概念的初步理性认识，但这是一种模糊的、浅显的认知.高中数学课堂教学的核心问题是帮助学生完成在现有学习能力下向高认知的学习任务攀升.其中有一方面就是对数学对象的认识，从自然语言向更准确、更精炼的符号语言的转化.“函数的奇偶性”这一节课正是让学生经历一个对称概念的形成过程，加深学生对概念的准确认知，从中建构自己对于对称的理解和认识.

三、教学设计（片段）

问题4：是因为点（1，1）和点（-1，1）都在函数f（x）=x2的图像上，所以认为函数f（x）=x2的图像关于y轴对称吗？

生：尽管这两个关于y轴对称的点都在f（x）=x2的图像上，但是不足以说明f（x）=x2的图像是关于y轴对称的.

问题5：那我们多取几组点就能说明吗？

生：有限组点肯定不足以说明.

问题6：那我们取无数组点呢？

生：好像也不行，应该要任意一组点才行，即需要在函数f（x）=x2的图像上任取一点P，证明它关于y轴的对称点Q也在函数f（x）=x2的图像上.

学生在教师的指导下完成证明：在f（x）=x2的图像上任取一点Px0，f（x0），即f（x0）=x20.设点P关于y轴的对称点为Q，则Q点的坐标为（-x0，f（-x0））.因为f（-x0）=（-x0）2=x20=f（x0），所以点Q也在函数f（x）=x2的图像上.所以函数f（x）=x2的图像关于y轴对称.

问题7：这个证明中的关键之处有哪些？

生1：点P要从函数图像上任取.

生2：f（-x0）=f（x0）这个式子的成立也是关键.

问题8：若函数y=f（x）满足f（-x）=f（x）对定义域中任意的x恒成立，能推出函数y=f（x）的图像关于y轴对称吗？

生：在函数y=f（x）的图像上任取一点P（x0，y0），即y0=f（x0）.因为f（-x）=f（x）对定义域中任意的x恒成立，则y0=f（-x0），即点Q（-x0，y0）一定在函数y=f（x）的图像上，所以函数y=f（x）的图像关于y轴对称.

问题9：若函数y=f（x）的图像关于y轴对称，则其解析式会有什么特征？

生：在函数y=f（x）的图像上任取一点P（x0，y0），即y0=f（x0），点P关于y轴的对称点Q（-x0，y0）一定在函数y=f（x）的图像上，即y0=f（-x0）.等量代换后得到f（-x0）=f（x0），即f（-x）=f（x）对定义域中任意的x恒成立.

师：所以函数y=f（x）满足f（-x）=f（x）对任意的定义域中x恒成立等价于函数y=f（x）的图像是关于y轴对称的.此时给出偶函数的定义：设函数y=f（x）的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有-x∈A，并且f（-x）=f（x），那么称函数y=f（x）是偶函数.

问题10：大家可以继续思考偶函数的图像有什么特点？

生：刚才我们已经证明了偶函数的图像是关于y轴对称的.