阳海林 章勤琼 王圣昌

【摘   要】小學阶段面积概念的学习，需要从度量的角度厘清面积概念的内涵，从明确面的属性、比较面的大小、描述面的大小三个层面进行。在教学中可以从以下两个方面入手：第一，关注如何描述面的大小，让学生对面积的理解走向深刻;第二，加强操作经验的积累，增强学生对度量本质的感悟。

【关键词】度量;面积教学;大小描述

面积是几何学基本度量之一。对于面积的学习，是学生空间形式认识发展上的一次飞跃。[1]面积概念的理解一直是教学中的难点。在实际教学中，学生更关注“面”在哪里，而忽略对“面”的大小的描述;容易受经验的影响，一看到求面积，首先想到的是用尺子去度量长度，而不是找一个单位面去覆盖它。这主要是因为学生缺乏对面积度量、面积概念的深刻理解。

一、面积的定义和大小描述

面积是几何学基本度量（测量或计量）之一，厘清度量的内涵，对于面积的教学有重要启示。

（一）度量的含义

关于度量，国内外学者对此都有研究。史宁中认为，度量是数学的本质，是人创造出来的认识数学进而认识现实世界的工具。度量的本质在于表现事物某些指标的顺序。所有度量中的量，最后一定要通过数进行表达，而且都是在1度量单位的基础上进行描述。度量单位的形成大致可以分为以下两类：一类是通过抽象得到的，是人思维的结果;另一类是借助工具得到的，是人实践的结果[2]。

西方学者指出，从技术上来说，测量（measurement）是一个数，用以表明测量物体的属性，以及测量给定单位的相同属性之间的比较。我们一般用小单位进行实测，决定被测量物体和测量单位之间的数字关系。对学校课程中测量的属性而言，我们可以说测量的意思是属性被相同属性的测量单位“填满”。为了测量某物体，必须完成三个步骤：（1）决定测量的属性;（2）选择该属性的单位;（3）比较这些单位，通过填满、覆盖、相匹配或者其他方法，测量物体的属性。

可见，国内外关于度量的研究都认为，度量在数学学习和应用中有重要的意义和价值，且特别关注借助度量工具度量物体的属性，并用一个数去描述度量对象的大小。与国内研究不同的是，国外更加关注借助工具得到的度量，本文也是谈谈通过工具得到的度量。

（二）面积的含义

面积（area）是计量中的基本概念之一，空间在两个不同方向上同时延展的可能性及程度在人脑中的反映，形成了面积的概念。平面图形的大小，是从这个平面图形占有空间的范围大小的比较中产生的，因此表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。[3]张奠宙认为，面积是几何度量领域的概念，其具有“数”的基本属性，即找到一个合适的数对其数学属性进行描述。[4]244

在小学数学教学中涉及的线、面、体，它们都是平直的，这些概念的特点是看得见、说不清的。这是因为在描述的过程中无法借用其他相关概念，而小学数学中涉及的概念基本都是这样的，这就为小学的数学教学带来了难度。为了使这部分的教学更加生动，可以把几何概念的理解与计数有机地结合起来。[5]

北师大版教材三年级下册用描述性的语言直接告知学生“物体的表面或封闭图形的大小就是它们的面积”。可见，教师在引导学生理解面积含义时，举例说明物体的表面是什么、封闭图形是什么，并不能使学生真正理解面积的含义。

因此，在小学阶段引导学生理解面积的含义，需要从度量的本质出发，设计图形面比较的活动，并在比较的活动中产生用“数”表述的需要，找到一个合适的数去描述面的大小。

（三）如何描述面的大小

学生对面积大小的理解，需要从定性认识上升到定量认识，即能用数描述面积的大小。度量一个图形或物体表面的面积，通常使用一个边长为单位长的正方形作为面积单位，以面积单位去度量，所得的量数，就是该图形或物体表面的面积。一旦面积单位选定之后，表示一个图形或物体表面的面积数就完全确定了。开展比较活动是描述面大小的基础，在比较面大小任务的驱动下，学生无法直接比较面大小，于是就自发地想到用小正方形作为标准单位去度量，从而得到面的大小。

因此，描述面的大小分为不同的层次：第一，首先需要引导学生理解面的属性，即知道面在哪里，感知面是有大小的;第二，能够选择不同的方法比较面的大小，比如重叠比较，这些都属于直接比较;第三，在不能直接比较的情形下，就需要运用间接比较，即选择一个合适的工具来度量，将待测面跟标准量进行比较，看包含了多少个标准量，通过数来表述面的大小。

二、理解面积概念的教学

“面积的认识”是人教版三年级下册第五单元的内容，面积概念是贯穿整个单元的核心内容。刘加霞指出，生活中有6种常用的感官量：长度、质量、容积、角度、面积、体积，学生对于它们的学习以及理解，通常会经历下以下5个阶段。阶段1：量的初步认识;阶段2：量的间接比较;阶段3：认识国际通用单位并能够用其描述大小;阶段4：国际通用单位体系的认识与换算;阶段5：利用公式求量的大小。[6]

在人教版教材中，对面积认识的直观感知涉及两步：首先是认识“面”，然后是比较“面”的大小。面积大小的比较，教材编排了比较两个长方形面积大小的活动，学生在通过重叠不能比较出大小时，试图寻找新的工具进行比较。分析教材编排意图，可以发现，其注重学生对面积概念的真正理解，以及引导学生体会度量的意义。

然而，考虑到学生用面积单位进行测量的经验比较少，教材使用直接提示，即“可以选用一种图形作单位来进行测量”来替代学生思考，让学生错失了一次自主选择测量工具对二维事物进行度量的契机，从而使得学生难以真正体会到面积度量的意义。学生虽然有用尺子度量长度的经验，但是面对二维的面，他们很难把这种经验迁移运用。而且，学生已经学了周长，片面地认为“周长长的图形，面积也大”，导致学生始终认为可以用尺子去测量面积的大小。显然，这样的经验，是不利于学生进行面积的度量的。

因此，对于理解面积含义的教学，需要从以下几个层面进行：第一，初步认识面积的属性，包括知道面在哪里;第二，会用观察、重叠、剪拼等直接比较的方法来比较两个图形的大小，感受比较面的大小需要同时从“长”与“宽”两个维度进行考虑;第三，在直接比较下无法确定两个图形的大小时，产生描述图形大小的需求，并能想到用一种新的工具来度量图形的大小，即用小正方形作为度量单位来度量。学生只有完整经历度量面积的过程，想办法去度量面积，自主选择工具去度量，对于他们理解面积的含义、渗透度量的意识才是有效的。

三、两点教学建议

（一）关注如何描述大小，对面积的理解走向深入

为了更好地渗透度量的意识，帮助学生深刻理解面积的含义，面积的教学可以从以下3个层面展开。

1.感知“面”在哪里

为了帮助学生感知“面”在哪里，教师需注意以下两点：一是结合学生已有的生活经验;二是设计多种感官活动，帮助学生积累感性经验。比如引导学生通过“看一看、说一说、指一指”等活动准确指出“面”所在的区域;在“涂一涂”“说一说”的活动中，可以让学生找出哪些图形是有面或有面积的，对“面”有全面的认识;还可以通过交流活动让学生明确只要是封闭图形（包括规则、不规则的），且面的大小是确定的，都是有面积的。

2.比较面的大小

数学学习需要有问题和任务驱动。学习测量，首先要解决“为什么测量”这一问题。[4]257面积教学，需要注重设计有层次的比较图形大小的活动，让学生掌握直接比较面的大小的方法。在面积的教学中，教师可设计给图形大小排序的活动，引导学生根据具体的情境，灵活选择合适的方法进行比较，体现比较的层次。比如有些图形是能通过直接观察比较的，有些图形是需要通过重叠的方法比较的，还有些图形是需要通过重叠一次后把多余部分剪下来再次重叠比较的。

3.描述面的大小

为了让学生在比较活动中感悟“面积”的本质含义，还需要设计通过“直接比较”难以获得比较结果的图形，借助非标准单位（中间量）进行比较，即在比较a、b的大小时，借助任意的一个c作为中间量进行比较。比如教师在教学中设计了比较两个“L”形图形的大小，学生发现无法直接进行比较时，教师引导学生转换比较的策略“想办法描述面的大小”，学生很自然地想到铺的方式，用小正方形把这两个图形铺满，数出小正方形的数量，就可以知道这两个图形究竟有多大。

基于以上三个环节进行教学，设计丰富的、有层次的操作活动，引导学生深入感知面在哪里;学会直观地比较面的大小;逐步过渡到用非标准单位度量，间接描述面的大小。

（二）加强操作经验积累，感悟度量的本质

关于度量的教学，包含了三个方面的内容：认识、描述、用公式计算。可以从三个角度来考虑：第一，认识它、知道它在哪里;第二，正确描述它的大小，即用非标准单位和标准单位来表达它;第三，在计算的时候，能够理解为什么这样计算。在教学中需要突出以下两点：一是要加强学生自主操作、探索的机会;二是理解度量的本质。

1.积累操作活动经验

对于度量教学三个方面的内容，需要学生在具体的操作过程中去感悟、探索和优化。明确量的属性，学生需要通过观察、操作、表达等活动去感受;描述量的大小，学生需要在比较量的操作活动中由“直接比较”过渡到“间接比较”，进而“生发”出描述量大小;用公式计算时，同样要经历不断操作和优化的过程。比如面积的计算，首先是全铺，然后只铺一边，再到测量长度，最后帮助学生从格子的数量过渡到“线段长度的乘积”。

2.理解度量的本质

数本质上是一种度量，数的本质是大小关系，需要在比较的活动中去感悟度量对象的大小关系，进而选择度量单位去准确描述量的大小。在教学中，首先，要明确度量的属性是什么。例如，面积度量的属性是指面的大小，而表示平面图形大小的数量也是在比较中产生的。其次，在比较大小任务的驱动下，实现比较方法的优化，由“直接比较”过渡到“间接比较”，即选择合适的非标准单位去比较，进而掌握用标准单位度量的方法。最后，让学生感受到，在度量单位确定后，依据度量的方法就可以度量大小，用数来描述大小。

参考文献：

[1]人民教育出版社，课程教材研究所，小学数学课程教材研究开发中心.义务教育教科书教师教学用书数学三年级下册[M].北京：人民教育出版社，2015：140.

[2]娜仁格日乐，史宁中.度量单位的本質及小学数学教学[J].数学教育学报，2018，27（6）：13-16.

[3]何思谦.数学辞海：第1卷[G].太原：山西教育出版社，2002：44.

[4]张奠宙，巩子坤，任敏龙，等.小学数学教材中的大道理：核心概念的理解与呈现[M].上海：上海教育出版社，2018.

[5]吴正宪，刘劲苓，刘克臣.小学数学教学基本概念解读[M].北京：教育科学出版社，2014：54-55.

[6]刘加霞，易玫.运用定义辨析，生成对“面积”的理解：“面积”课例研究[J].小学教学（数学版），2012（6）：14-17.

（1.广东省东莞市松山湖第一小学   523808 2.温州大学教育学院   325035 3.清华大学附属中学朝阳学校   100027）