郭铭纪

摘 要：直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物形态与变化，利用图形理解和解决问题的过程。在教学中以几何模型、函数模型、实际问题背景模型等为载体，在具体的模型和情境中形成数学直观感觉，感悟数学的本质，采用多种方法和手段，通过对模型的认识和再处理，发挥直观的支柱作用，实现具体模型和情境与抽象概念的联系和转化，化抽象为直观，培养和发展学生的直观想象素养。

关键词：数学核心素养;直观想象;模型化培养策略

高中数学课程标准修订组的专家将直观想象定义为：借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的思维过程。主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律;利用图形描述分析数学问题;建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。

克莱因说：数学不是依靠在逻辑上，而是依靠在正确的直观上，数学的直观就是对概念、证明的直接把握。

希尔伯特说：“在数学中，像在任何科学研究中那样，有两种倾向。一种是抽象的倾向。另一种是直观的倾向，即更直接地掌握所研究的对象，侧重它们之间关系的意义，也可以说领会它们的生动的形象”。

笔者认为，“直观想象”是“数学抽象、逻辑推理、数学建模”的思维基础，为我们提供了思维方向，是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段。

直观想象与几何联系密切，直观想象的载体是图形。数、形是数学研究和学习的基本对象，相对而言，形直观，数抽象。图形作为数学研究的基本对象之一，是数学研究的一个重要方法和手段。那么在教学中如何培养和发展学生的直观想象素养呢？本文尝试从学习几何图形（图像）出发，以模型为载体培养学生的直观想象素养提出一些看法。

一、以几何模型为载体培养直观想象素养

几何对于帮助认识我们生活的世界具有很大的现实意义，而直观想象又是学生们学好几何的关键。笔者教学中经历过农村普通中学学生，城市一级达标学校的学生，很多的同学对于几何具有恐惧感，甚至有的同学到了高三对于空间平面四边形还看不懂是平面图形还是立体图形！如何解决这个问题，笔者认为，通过几何模型化处理方式进行教学发展直观想象核心素养是最有效的，在日常教学中笔者采用以下几种模型。

（一）利用身边实物模型培养直观想象素养。

三维世界中的一切事物都是学习立体几何的最好模型，在教学中要善于利用好身边的这些实物模型。正如教材里面举例的：教室以及里面的灯、讲台、门窗、桌椅，学生的课本、纸张、笔、手等都可以抽象成空间几何体中的点线面;课本的合闭变化就是一个很好的二面角模型;教室门的开闭可以演示线面平行的判定，也可以演示线面垂直的判定。这样的例子随处可见，结合教学内容，以熟悉的场景设计模型进行举例，感同身受地体会到所处的空间点线面的各种关系。人类研究自然用得最多的是观察法，养成习惯后，慢慢地直观想象素养就能得以提升。

（二）通过制作几何模型提升直观想象素养。

五育并举，立德树人，努力构建“德、智、体、美、劳”全面发展的教育评价体系，是高考改革的指导方针，也是新高考的热点内容。陶行知先生对于中国教育革命的对策是手脑联盟，简单地说是要在学中做，在做中学。笔者在教学中就要求每个同学都要做几何模型！利用吸管做出三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥;利用纸张做出圆柱、圆锥、圆台等;利用绳子绑住直尺的两端绘出椭圆模型、拉链绘制双曲线模型等。现在也可以利用网络的便捷性，购置一些几何模型，快速地根据需要拼接出一些我们需要的几何体模型。不过笔者更倾向于通过模型制作，这样既能让学生动手实践，在实践中体会空间点线面的位置关系，又可以提高学生学习的兴趣，让学生能够主动地去学习，留下的模型还可以供学生反复观察，学习几何作为入门解题时配合使用，直观想象素养必然会得到提升。

（三）通过多媒体教学手段构建模型展示发展学生直观想象素养。

不管是实物还是制作的模型，对于理解复杂的几何体以及运动变化的问题比较困难，这个时候需要多媒体教学手段构建模型进行辅助。利用几何画板、Flash动画等几何软件对立体图形的位置关系、各种角、各种切截模型进行观察、揣摩，探索旋转体、组合体、运动问题等;运用圆锥曲线图像分析问题构建圆锥曲线问题的直观模型;线性规划中的动态问题，如约束条件含参导致可行域变化的问题、目标函数含参数致使目标函数的几何图形变化的问题等。对于发展学生直观想象素养是一种很好的手段。

（四）以实际问题模型提高绘图能力增强直观想象素养。

软件绘图的做法学生没有参与其中，不会有切实的体验，在解决实际问题时仍然会有瓶颈。几何的教学离不开图形，所以必须重视作图能力的培养，学会如何绘图。在教学中对学生讲述绘图时的一些要求和方法，让学生尽快地掌握画图的技巧，引导学生将自己能够想象到的立体图形动手画下来，让学生有参与感。当学生能够独立的完成对于立体图形特别是一些切截问题模型的绘制时，说明学生的空间想象能力得到了较大的提高，逻辑思维能力也随之得到加强。高考中对绘图能力的考察也经常出现，如2015课标2理数第19题。

题1：如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，C1D1上，A1E=D1F=4。过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一個正方形.

（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）;（Ⅱ）略.

本题第一问考察直线和平面平行的性质，根据简单计算可得H（G）的位置以及根据面面平行的性质画出平面与长方体的交线，从而确定另一个点G（H）。再比如2021年1月八省模拟演练的数学学科试卷立体几何只考到了初步知识，没有考到利用空间向量法解决立体几何问题，以大兴机场的建设成就、大学微分几何中的曲率为背景，结合立体几何的相关知识命制试题。2021年很多省份进入了新高考，鉴于文理不分科，未来的立体几何的命题会更加注重对核心素养的考察，笔者大胆猜测，类似这种题型以后会比较常见！新课改的精神对于落实核心素养的教学导向起到积极引导作用。

二、以数形结合问题模型为载体培养学生直观想象素养

史宁中说：数学在本质上研究的是抽象的东西，数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象。但是，人们获得知识又依赖于经验的“直观能力”，数学抽象与直观想象是同构的，直观想象可以看成是一种依赖于经验的先天抽象。笔者认为直观想象并不局限于几何，是一种整体把握和深刻洞察。数形结合实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的处理，实现具体模型和情境与抽象概念的联系和转化，化难为易，化抽象为直观。因此，数形结合需要对“图形”概念进行拓展，包括各种函数图像及其变换、向量复数的几何意义、集合、统计图表等，构建可代数几何化的数学模型，利用几何直观的特点，把代数问题图形化、形象化。如2013新课标1卷理数第16题。

題2：若函数f（x）=（1-x2）（x2+ax+b）的图像关于直线x=-2对称，则f（x）的最大值是______.

本题命题意图考查函数的对称性及利用导数求函数最值，属于难题。按照参考答案解答很复杂，大多考生无法解答。如果对函数图像“直观想象”，可将问题简单化。由对称性知：另外两个零点是-3、-5，则f（x）=-（x-1）（x+1）（x+3）（x+5），利用函数左右平移不改变最值的特点，构造函数g（x）=-（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）=-（x2-5）2+16，易得最大值为16。以实际问题模型为载体，提升数形结合的能力，利用几何直观的价值功能，增强运用几何直观的意识，形成数学直观感觉，在具体的情境和模型中感悟数学的本质，这对提升学生直观想象素养是有很大帮助的。

数学的深层知识往往包含在表层知识中，就像陈重穆教授提出的“淡化形式，注重实质”，利用图形（图像）构建模型可以更直接简单地刻画和描述问题，探索和形成解题思路，寻找和发现某些结论，记忆和理解抽象知识以及建立良好数学直觉，把握数学本质规律。通过模型的构建和学习，以模型为载体，帮助学生掌握几何图形（图像）的特征，有利于直观想象素养的培养，实现育人的价值与功能，完成数学学习的最终目标。

参考文献

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本文系福建省“十三五”中小学名师名校长培养工程专项课题《高中生数学直观想象素养的培养策略研究》（课题编号：DTRSX2019017）阶段性研究成果。