唐军强

（焦作大学基础部，河南 焦作 454000）

素数的分布是一个古老的问题。素数有无穷多个，古希腊数学家欧几里得在公元前 300 年左右就给出了一种简洁的证明。而欧拉使用“埃拉托色尼筛法”给出的一个式子——今天我们称为欧拉乘积公式，揭示了黎曼函数与素数分布之间的一种天然的联系[1]

等式左端为对所有的正整数求和，等式右端为对所有的素数求积。当s=1时，左端级数发散，这提供了素数没有穷尽的另一个证明。黎曼 1859 年的论文《论小于一个给定值的素数的个数》正是从(1)式出发，给出了一个准确的关于的式子[2]，同时提出了举世闻名的黎曼猜想，即黎曼函数的所有非平凡零点的实部都是，至今未能获得证明。依赖于素数特性的现代密码编制术和破译术，其根基就在这里。而二十世纪的一系列非凡进展，显示出甚至原子物理学都尚未被完全理解的方式与这个奇怪难题扯上了关系。但是，黎曼假设是比素数定理更强的条件，即使没有黎曼假设的成立作保证，人们依然证明了素数的分布服从[3]

1.公式的推导

该公式的推导灵感来自于数论中欧拉公式的一种初等证明[4]，代表小于n且与之互素的自然数的个数，包括1在内。它的计算公式是

(2)式中 为n的素因子。我们知道，如果一个整数n不能够被小于等于的素数整除，那么它一定是一个素数。这一点对于小于n的整数自然也是成立的。换句话说,小于n的合数都能够被小于等于的某个素数整除，如果我们从n个数字中去除掉这些合数，那么剩下的都是素数了。……