赵爱华

(新疆乌鲁木齐市教育研究中心 830002)

近年来，在各种重要考试中经常出现以2011年全国Ⅱ卷理科第16题为母版的试题，呈现形式多样，选择题、填空题、解答题均有考查，但是历届学生答题准确率都较低，这引起了我们的关注，并在实践中开展了深入的探究.

一、题目呈现

二、总体分析

一般认为，本题以正弦定理为入口，考查三角函数的性质.但是命题专家在“结论AB+2BC”中的“2”上做了文章，将问题变得扑朔迷离.很多学生在最后的出口上会遇到困难.因此，必须另辟蹊径，突破难点.既然题目在求最值的出口处设置了障碍，那么我们必须以不同的视角来研究此题，找到突破口.事实上，本题远不止一个入口.它蕴含了丰富的教学素材，留给了教师、学生广阔的思维空间.此模型备受专家的青睐，编制了很多翻新试题.

三、本质探究

四、解法探究

视角1 从正弦定理入手，依托三角函数性质作答.

评析本解法中，部分功底不扎实的学生会对(*)处有疑惑，φ究竟有多大？C+φ能取90°吗？导致解题失败.事实上，由正切函数的单调性知30°<φ<45°.从几何角度或三角形内角和可以发现0°

视角2从余弦定理入手，利用判别式作答.

即3=c2+a2-ac.

令t=c+2a.①

即c=t-2a.②

将②代入①整理，得7a2-5ta+t2-3=0.

于是Δ=(-5t)2-28(t2-3)≥0.

评析本解法用整体处理的技巧，从二次方程的角度，构造了以目标函数为参数，边长a为变量的二次方程，自然避开了角对问题的干扰.

视角3 从余弦定理入手，利用三角换元作答.

评析本解法恰当利用了题设转化而得的平方关系式，借助sin2θ+cos2θ=1消元，构造自变量不受限的三角函数，解法干……