文|赵晨

当前数学教学重视学生推理能力的发展，而几何作为培养学生推理能力的重要部分，理应受到相应的重视。目前国内外一些研究显示，很多小学生的范希尔几何思维水平尚未达到非形式化推理水平，但是就一些国际数学测试研究的结果以及一线教师的经验来说，我国中小学生在数学成就方面都呈现出了较高的水平，那么在几何非形式化推理水平上我国的小学生到底达到什么程度呢？很少有学者单独对其做深入的探究，因此本研究试图在了解我国小学生几何思维水平总体发展情况的基础上，探究小学生在范希尔几何思维第三水平即非形式化推理水平上的具体表现。

一、理论基础

范希尔夫妇在20世纪50年代末提出了几何思维水平的相关理论，他们将几何思维由低到高划分为如下五个水平：视觉、分析、非形式化推理、形式化演绎和严密性水平。范希尔理论，对于后来几何思维水平的研究有着广泛影响。

小学阶段的学生一般处于前三个水平，即水平1——视觉水平：能依据外观辨认并操作各种形状的图形与几何构图要素；水平2——分析水平：能依据图形的组成要素和这些要素之间的关系去分析图形，依据经验主动建立某类图形的特性，并用这些特性解决问题；水平3——非形式化推理水平：能形成并使用定义提出非正式的推论，整理先前发现的性质，并跟着做演绎推论且提出演绎推论。

二、研究方法

1.研究对象。

本研究以上海市虹口区一所公立小学五年级的全体学生为研究对象，共施测四个班总计135名学生，其中有效样本为133份，有效率为98.52%。数据分析仅针对133份有效样本。

2.研究工具。

测试工具分为两部分，第一部分为“Usiskin几何测试题”，考查五年级学生在范希尔几何思维前三个水平上的表现；第二部分为自编的“非形式化几何推理测试卷”，着重了解五年级学生在范希尔几何思维第三水平上的几何推理能力。

“Usiskin几何测试题”采用美国芝加哥大学教授Usiskin在其开展的“中学几何课堂学生认知发展和成就”项目中依据范希尔理论编制的“范希尔几何测验”工具，该测试直到现在仍然被广泛应用。相关研究发现，Usiskin等人编制的测试题不仅适用于高中生几何思维水平的测评研究，其低水平部分的题目对于初中生甚至小学高年级学生的几何思维水平测评研究也具有重要价值。因此本研究选取该测试前三个水平的题目，且剔除2道涉及五年级学生尚未学习过的几何概念的题目，最终保留水平1题目中5题，水平2和水平3各4题，共计13题。该测试题的评价标准为：如果学生在某一水平及所有低于这一水平的每一水平上，都正确回答了该水平5个问题中的3个或以上，则认为学生达到了这一水平。本研究中水平2、水平3分别只有4题，但在评价时仍以答对3题及以上为通过该水平，即后两个水平的通过标准调整为答对“四分之三”及以上。

“非形式化几何推理测试题”的编制主要基于Fuys等人对范希尔几何思维理论前三个水平的具体细化，参考前人的研究框架、题目编制方法等，并结合小学“图形与几何”内容知识点进行编制。该测试题由7道大题共计16道小题组成，题型有选择、填空等，且部分题目需要学生加以解释说明。这一做法相比于设置单选题来说，虽然增加了统计的工作量，但是笔者希望通过学生的回答解释更多地了解其推理过程及真实想法。如果学生在该测试题中答对60%及以上，则认为其达到非形式化推理水平，否则视为未达到。

3.工具信度。

自Usiskin等人开始研究，“Usiskin几何测试题”已经在前人的诸多研究中被采用，其信度得到了多方证实。本研究结合国内研究者的翻译结果对英文原题进行再次翻译调整，并根据小学生几何思维情况保留了其中13道题，也具有良好的信度。而自编的“非形式化几何推理测试题”Cronbach系数为0.821，说明此测试卷具有较高的信度。

三、测试结果分析

1.五年级学生几何思维水平总体分布情况。

利用加权记分分配学生几何思维水平，得到133份样本的加权得分情况如表1所示。其中，大多数学生加权得分为1分和3分，即这部分学生几何思维水平分别属于水平1（视觉）和水平2（分析），分别占比36.09%、30.08%。近四分之一的学生加权得分为7分，即其几何思维水平达到水平3（非形式化推理）。另有4.51%的学生加权得分为5分，即通过水平1和水平3但未通过水平2，该部分样本属于“跳跃”情形。

表1 各水平加权得分情况

由表1可见，几何思维达到水平2和水平3的总人数占比54.89%，也就是说，超过半数的学生几何思维水平在水平2及以上；并且有近四分之一的学生达到了水平3；但仍有部分学生几何思维水平处于水平1及以下。由此可见五年级学生在几何思维水平分布情况上两极分化比较严重。

通过单一样本t检验，发现四个班级均接受检定值2而不接受检定值3，因此总体来看，本研究中五年级学生的几何思维水平达到水平2未达到水平3。

2.非形式化几何推理测试的结果分析。

学生在“非形式化几何推理测试题”中得分情况与“Usiskin几何测试题”第三水平题目的得分情况呈现出较强的相关性，皮尔逊相关系数为0.692**，P=.000。

所有样本在这16道小题中的总体正确率为42.76%，未达到设定的通过标准60%，也就是说五年级学生的几何思维水平总体上未达到非形式化推理水平。

图1 “非形式化几何推理测试”各题正确率

四、研究结论与建议

1.研究结论。

总体看来，五年级学生几何思维水平达到了水平2（分析水平），未达到水平3（非形式化推理水平），且两极分化比较严重。从“非形式化推理测试题”的测试中，我们发现五年级学生的非形式化几何推理能力尚显不足。主要问题如下：

（1）图形包含关系理解有偏差。

相较于其他推理题目而言，五年级学生在图形包含关系的推理上展现出了较强的推理能力，但部分学生在图形包含关系的理解上依然存在很多误区。

很多学生对于图形之间包含关系的辨认，不是基于对图形性质的非形式化推理，而是基于记忆。因而出现了认为长方形是“特殊的平行四边形”但不是“平行四边形”的情况，又或者是产生了记忆错误，弄反图形之间的包含关系。这说明很多学生没有真正理解长方形具有的“特殊”性质的意义。

而对于能够非形式化地推理出图形之间包含关系的学生来说，也常常会出现忽视和遗忘包含关系的情况。当没有专门提问两者关系，而是将其变成隐含条件时，学生就会反应不过来，忽视包含关系的存在。

（2）难以意识到图形性质间的包含关系。

信息素养主要指个体利用信息技术及技能搜索、获取、鉴别、分析、利用信息的能力，是当今信息社会必备的技能之一。“一带一路”致力于打造人类命运共同体，但各国文化、政治、法律等差异较大，要求参与建设者必须具备一定的信息素养能力，了解、熟悉、掌握相关的经济、政治、文化信息，才能在项目、活动开展过程中不走歧路、合作共赢。

五年级学生基本能够辨认出常见图形的各组性质，但大部分学生不能辨认出定义一个图形所需要的最少性质，一方面是由于意识不到图形性质之间的包含关系，另一方面是因为难以检验各组性质对于某类图形是否充分。

（3）对某些专有名词缺乏足够理解。

五年级学生对于一些几何专有名词比如“对角线、对角”等的基本定义不是很清楚，对“对角线相等”“对角相等”等性质的理解不够透彻。很多学生对“一组对边长度相等，另一组对边长度也相等”这种分开叙述的方式难以接受，对图形性质的理解尚有不足。

（4）不善于使用图示等进行推理。

很多五年级学生不会利用或者想不到可以利用示例图形、图示或其他材料来进行分析和推理，难以根据图示的提示做非形式化的推理演绎，更不用说自己给出推理论证或是给出多种解释来证明某些性质。

（5）几何表达能力欠佳。

五年级学生在非形式化推理方面显示出的一些不足，与其几何表达能力不足有一定关系。比如，在对图形性质的描述上，很多学生不能够用合适的几何语言去描述图形的性质，所以无法完成非形式化的推理，因此即使能够做出正确判断，也无法给出合理解释。同样地，在辨别几何命题及其逆命题之间的区别时，虽然很多学生能够非形式化地感受到两者的不同，但也存在不知道如何用语言去描述其中区别的问题。

2.教学建议。

（1）抓住基本几何概念，多加辨别思考。

从学生在测试卷里暴露的错误中可以发现，部分学生在进行非形式化几何推理的时候，对于一些几何专有名词比如“对角线、对角”等的基本定义并不是很清楚。因此，笔者建议教师在教学中关注这部分的基础教学，学生只有真正理解了这些基本几何术语的含义，才能在学习更灵活的几何内容时不产生混淆。

在测试中笔者发现很多学生对于各种三角形和四边形包含关系的理解并不十分明确。很多学生对于图形之间包含关系的辨认，可能不是基于对图形性质的理解，而是基于记忆，所以在非常规的题型中，容易产生错误。因此，笔者建议教师在教学几何内容时，要想办法帮学生理清相关概念，辨别图形及其性质之间的同与异，从而让学生在辨析的过程中真正理解几何图形的性质。另外可以通过带领学生画包含图的方式，让学生建立起几何图形之间的关系网络，从而更好地理解特殊图形具有的“特殊”性质的含义。

（2）引导学生观察、操作、感知几何图形。

小学阶段学生的思维处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。对于小学阶段的学生而言，适时地通过动手操作来学习和巩固几何知识，往往能产生更好的学习效果。

在测试中笔者发现很多学生不会利用或者想不到可以利用题目中给出的示例图形来进行分析和推理。因此，在日常的几何教学中，教师可以引导学生通过对实物模型、几何图形进行观察、测量、折叠等实践活动，充分比较和掌握各种几何图形的基本性质、基本特征，并让学生意识到观察、操作等方法的作用。对于小学高年级学生，教师可以引导学生通过观察、操作等方式，进行比较、分析、猜想、推理，提升学生非形式化推理的能力。

（3）加强互动交流，提高几何语言表达能力。

五年级学生在非形式化推理方面显示出的一些不足，与其几何表达能力不足有一定关系。因此，笔者建议教师在日常教学中，要多给学生表达的机会，引导学生用正确的几何语言去分析和解释，并适时地纠正学生的几何语言表达。

另外，范希尔理论指出，每一个几何思维水平都有其专属的阶段性语言符号，在某一水平使用的特定语言符号，到了下一水平就可能要调整为另一种语言符号，比如一个图形可能有多种命名，正方形也可称为长方形、平行四边形，可见在几何语言的调整中也能够加强学生对图形包含关系的理解。因此在教学中，教师要及时根据学生几何思维水平的发展情况，适时调整几何语言符号的表达，从而促进学生几何推理能力的提升。