藏洁，刘升刚

(1.北京空间飞行器总体设计部，北京 100094；2.北京航空航天大学 宇航学院，北京 100191)

0 引言

在最优化问题的间接法求解算法中，根据最优点的必要性条件，原最优化问题转化为一个两点边值问题(two point boundary value problem,TPBVP)，两点边值问题的解就是原问题的最优解[1]。通常两点边值问题所描述的是一个有限维动力系统，在其有限的单维自变量区间的2个端点上存在与系统维数相同个数的若干约束，要求求解满足上述约束的系统状态的时间轨迹。

约束是分别施加于2个端点，故这2个端点的状态都存在一定的自由度。两点边值问题求解的关键就是寻找2个端点状态之间精确的定量关系，或者具有足够精度的近似关系。不过除了十分简单的情况，一般来说从原最优化问题转化得到的两点边值问题所对应的系统都是比较复杂的非线性系统，自变量区间2个端点处的系统状态之间的关系都是具有高敏度、高非线性特性的，且很难得到解析表达式。现在主流的两点边值问题求解算法都是数值求解算法，基本可分为2类:打靶法(shooting method)和转录/配置法(transcription/collocation)[2]。

打靶法的设计变量是考虑始端约束条件下，始端自由状态变量，通过数值方法计算得到终端系统状态变量以及终端状态变量相对始端状态变量的雅可比矩阵，然后根据终端状态约束和雅可比矩阵计算始端状态的修正量，由此迭代重复进行上述计算，直至终端约束满足，得到两点边值问题的精确解[3-5]。打靶法中终端状态和始端状态之间定量关系是对原系统的一阶线性近似，对于高敏度高非线性特性的系统模型，要求打靶迭代的状态初始猜测值具有较高的精度，否则难以收敛到精确解。……