张九铸

(金昌市龙门学校 甘肃 金昌 737100)

1 引言

如图1所示，质量为m1,半径为r1的均质刚性球壳绕其直径的转动惯量为J1，与刚性水平面进行斜碰．碰撞之初，球壳的质心速度为V01，与竖直的Oy轴负向的夹角为α，角速度ω01沿逆时针方向．球壳与水平面之间的碰撞恢复系数为e．再设上述各量能够保证：球壳碰撞点的水平初速度为v0x>0，球壳在整个碰撞过程中受到方向不变的动摩擦力且该力满足库仑摩擦定律，动摩擦因数为fd．由平面运动刚体动力学方程及恢复系数定义有

图1 刚性球壳与刚性平面之间的碰撞

-fdIN=m1V1x-m1V01sinα

(1)

IN=m1V1y-m1(-V01cosα)

(2)

-r1fdIN=J1ω1-J1ω01

(3)

(4)

其中IN是球壳在整个碰撞过程中受到的支持力的冲量，V1和ω1分别是球壳在碰撞过程末的质心速度和角速度，各矢量方向如图1所示．联立以上4式，可得到

V1x=V01[sinα-fd(1+e)cosα]

(5)

(6)

其中

系统在碰撞过程中的动能损失为

(7)

将式(5)，式(6)代入式(7)，得到

(8)

取具体数值α=30°，e=0.7，fd=0.4，a=0.30．将这些数值代入式(8)，算得ΔEk<0，这显然不符合能量守恒定律．出现此类结果的问题称为Kane难题[1]．

上述问题中的运动初始条件是合理的，解答过程中所用其他定理和公式也是合适的，故Kane难题产生的原因，只能是用库仑摩擦定律If=fdIN将法向冲量大小IN和动摩擦力冲量大小If联系起来这一点，进一步讲，仅由上述运动学条件(V01，α，ω01)、几何条件(r1)、动摩擦系数fd和恢复系数e这6个量无法确定球壳碰撞过程各阶段的受力或各力之间关系，当然也无法保证球壳在碰撞过程中始终受的是满足库仑摩擦定律Fτ=fdFN的动摩擦力．实际上，在碰撞过程各阶段，球壳与水平面之间的接触力比较复杂．比如两个弹性球体的碰撞，且接触面是一……