汤青芽，李向军

(长江大学 信息与数学学院，湖北 荆州 434023)

引言

图的控制理论是图论研究的重要组成部分，在系统工程、通信网络、计算机与社会网络等方面中都有广泛的应用[1]。 经典的图控制理论经过不断演进和拓展，许多新的控制概念被提出和研究。 图的符号控制概念由Dnubar[2]在1995年首次提出，近些年来，符号控制研究内容也越来越丰富。 各种类型的符号控制数得到广泛的研究，如图的符号控制数[3～6]、图的符号边控制数[7～12]、图的符号全控制数[13]、图的符号圈控制数[14～16]、图的符号星控制数[17]、图的F-控制数[18，19]、图的符号边全控制数[20，21]等。 关于图的符号边控制数，徐保根[7]提出此概念，并给出了符号边控制数的一些特征刻画。 由于计算任意图的符号边控制数是十分困难的，研究某些特殊图的符号边控制数是很有意义的。 赵凌琪等[10，11]研究了一般正则图的符号边控制数的上界与下界，李向军等[22]确定了笛卡尔乘积图C3×Cn符号边控制数，徐保根等[12]给出了笛卡尔乘积图P2×Cn的符号边控制数，本文利用图结构分析方法确定笛卡尔乘积图P3×Cn的符号边控制数的确切值。

一、预备知识

记无向图G(V,E),V,E分别是图G的顶点集和边集,NG(e)表示图G中与边相邻边e的集合，NG[e]:=NG(e)∪{e}为边e的闭邻域。Cn用表示长为n的圈，P3表示顶点数为3的路。 笛卡尔乘积图G×H表示图G和图H的笛卡尔乘积，其顶点集为V(G)×V(H),对x,y∈V(G),a,b∈V(H),(x,a)与(y,b)相邻当且仅当x=y且ab∈E(H)或a=b且xy∈E(G)。 本文只考虑简单无向图，文中未说明符号和术语同文献[23]。

定义1[7]G是一个非空图，如果存在一个双值函数f:E(G)→{-1,+1}，使得对任意e∈E(G),均有∑e'∈NG[e]f(e')≥1成立，则称f为G的一个符号边控制函数。……