翟龙华，时国平，张玉峰

(池州学院 机电工程学院，安徽 池州 247000)

自聚焦透镜的尺寸极小，改变自聚焦透镜长度，能够使自聚焦透镜的焦距[1]和其他光学特性发生变化。只需调整折射率分布的梯度深度和透镜的长度就可实现超短焦距，采用普通光学透镜则无法实现。实际应用中，不可能存在所谓的绝对光学仪器，即任何像差都没有的光学系统，自聚焦透镜在成像时也不可避免存在像差。由于光线在自聚焦透镜内是弯曲的，所以它的像差计算公式较普通透镜要复杂的多，然而它的像差公式也是有一定规律的，本文结合自聚焦透镜像差的一些规律计算自聚焦透镜的像差并进行了模拟仿真。

1 三级光线追迹法推导初级像差公式

三级光线追迹[2]时，折射率分布表达式只保留到四次方项即可。

(1)

其中，h4为四阶折射率变化常数，为求解方便，作变量变换，令t=gL，然后推导能够普遍表达媒质中光的传播径迹的方程式，即光线微分方程，其表达式为：

X″+X=2h4XR2Y″+Y=2h4YR2

(2)

其中，R=gr，X=gx，Y=gy，Z=gz。上式中的求导都是表示对t的求导。将上述微分方程组简化为一个，即：

Y″+Y=2h4Y3

(3)

为求解这个方程，首先对该方程的齐次方程进行求解：

Y″+Y=0

(4)

根据式(4)得出的解即为一级近似解，然后把它代入三级近似方程中，解之即可得到三级近似解。对式(4)进行拉普拉斯变换，求解后即可得到原方程的解，即一级近似解Y(1)、V(1)：

(5)

式中，V=Y′=dY/dt≈q/n0，即任意点的方向余弦，Y0、V0为光线初值。把一级解代入方程(3)中，得到：

Y″+Y=2h4(Y0c+V0s)

(6)

其中，c=cost，s=sint。由于上式右端只是t的函数，可表示为f(t)，则存在：