江惠君 吴斌 卢红丽

摘  要：由于公共卫生事件及自然灾害事件频发，提升政府应急物资保障能力迫在眉睫。为研究政府应急物资的储备与再订购问题，文章基于二次订购报童模型，考虑突发事件的随机性、突发事件前后订购成本不同等因素，构建了政企合作前提下政府应急物资储备与采购决策模型，最后通过数值算例验证模型的有效性并分析相关参数的影响。研究结果表明：（1）与一次订购策略相比，二次订购能降低政府储备压力并提高社会期望效益;（2）应急物资的成本、残值、缺货损失等均会对政府采购决策产生影响;（3）对于突发事件发生概率大的地区，二次订购策略更能提升政府应急物资保障能力。

关键词：应急物资采购;二次订购报童模型;随机事件点

中图分类号：F253    文献标识码：A

Abstract： Due to the frequent occurrence of public health events and natural disasters， it is urgent to improve the government's emergency material support capacity. In order to study the problem of government emergency supplies reserve and reorder， based on the second order newsboy model， considering the randomness of emergencies， different ordering costs before and after emergencies and other factors， this paper constructs a decision-making model of government emergency supplies reserve and procurement under the premise of government enterprise cooperation. Finally， a numerical example is given verify the validity of the model and analyze the influence of relevant parameters. The results show that：（1）compared with the one-time ordering strategy， the two-time ordering strategy can reduce the pressure of government reserves and improve the social expected benefits;（2）the cost， residual value and shortage loss of emergency materials will have an impact on the government procurement decision-making;（3）the two-time ordering strategy can better improve the government emergency material support ability in areas with high probability of emergency.

Key words： emergency material procurement; newsboy model with two orders; random event point

0  引  言

2020年是我国公共卫生事件和灾害事故频发的一年，年初爆发的COVID-19新冠肺炎疫情、7月份长江淮河流域特大暴雨导致的洪涝灾害等都给人们的生命和财产安全造成了巨大损失与威胁。公共卫生事件和灾害事故均属于突发事件，具有不确定性、爆发性的特点，并且对应急物资需求的响应速度以及数量要求极高。而政府作为保障人民生命和财产安全的责任人，面对频发的突发事件以及日益复杂的社会经济条件，其应急管理能力与应急物资保障能力受到了严峻的挑战。因此，如何构建合理有效的应急物资采购模型，提高政府决策的质量效果，具有重要的理论和应用价值。

關于应急物资储备与采购问题，已有不少学者进行了研究。文献[1-4]提出政府在处理应急物资管理问题时可以借鉴商业供应链的协调机制，并加强与企业在应急物资储备方面的合作。罗静[5]通过演化博弈分析了不同政策环境下影响政企合作应急物资产能的因素，并给出了促进政企合作的策略建议。除上述定性研究外，在定量研究方面，一些学者利用供应链契约理论[6-10]、双层规划模型[11]、报童模型[12-13]以及系统仿真[15]等展开了分析。其中Wang[6]等利用期权契约研究了应急物资储备与采购定价问题，提出期权契约能够协调救济供应链和实现帕雷托的改进。而扈衷权[10]等基于数量柔性契约的应急物资采购模型，分析了储备期内突发事件的发生概率以及应急物资采购价格等因素对政企双方决策的影响。Taskin[12]针对突发事件下应急物资需求的不确定性，考虑了应急物资的缺货损失，引入动态报童模型并得出最优应急物资储备量。潘星明[14]基于SIMIO仿真模型研究了医院应急资源规划问题，引入病人病情递进模式，仿真优化了突发公共事件下的医院应急储备。以上文章在解决政府应急管理问题时运用了不同的方法构建模型，但是还没有文章基于二次报童模型来研究政府应急物资采购问题;另外，现有研究多是单一给出应急物资的储备量，鲜少有文章同时给出应急物资的储备量和再订购量，而二次报童模型可以满足这一需求。

针对上述问题，本文认为政府应急物资初始储备量可以看作是零售商的期初订货量，而政府在突发事件下的二次采购可看作是零售商在销售期内因需求增加进行的二次补货。因此，本文构建了含有随机订购点的二次报童模型，将政企合作协议期内突发事件的发生概率、事件发生时间点的不确定性、二次订购成本不同等因素考虑进模型中，假设随机订购点和应急物资需求率同时服从均匀分布，研究突发事件下政府的应急物资采购策略，最后通过数值案例验证模型的可行性，以期为研究政府应急物资管理提供新思路。

1  问题描述与符号假设

1.1  问题描述

论文以政府、应急物资供应企业、受灾地共同构成一个三级供应链。突发事件发生前，政府为做好应急保障工作提前与协议企业签订契约，契约期即应急物资的储备期，政府以一定的初始价格购买一定量的实物进行储备;突发事件发生后，政府迅速将储备物资配送至受灾地区，另一方面，考虑到突发事件对社会经济产生影响，比如企业原材料采购紧俏、工人复产复工困难等，供应企业生产物资的成本上升，因此企业可在协议范围内以高于初始价格继续对政府进行物资供应，并由协议企业直接运往受灾地区。救灾结束后，政府对剩余物资进行残值处理，以减少不必要的浪费。

1.2  基本假设

假设1：政府（采购方）和协议企业（供应方）签订的是一个单周期契约。为便于研究，对整个周期归一化处理[15]，记为0，1，契约期开始时刻为0，结束时刻为1。

假设2：假设突发事件发生时刻（即政府对协议企业进行二次采购时间点）为t，且t为服从均匀分布的随机变量，即t～U0，1;假设供应商订单响应迅速，受灾地需求能快速满足。

假设3：假设突发事件发生条件下，t时刻激增的需求可看作0到t时间内的需求，考虑到事件的影响是持续性的，假设整个周期内各时刻的受灾需求率相同，将应急物资需求率表述为r，单位时间的随机需求量r～Ua， a+h，其中，a>0，h>0。

假设4：当采购的应急物资量超出受灾地区的需求时，政府将以一定残值（残值低于采购价格）对剩余物资进行处理;当应急物资供应无法满足需求时，将会产生缺货损失。

假设5：本文研究的对象：突发事件发生时需求量大且生产周期较短的应急物资，如防护服、帐篷、瓶装水等消耗品。

1.3  其他符号说明

2  模型构建

我们考虑政企合作模式下政府向协议企业二次订货的决策模型，并且在该模型中，只有一个政府采购商和一个协议企业供应商。在契约签订（即0时刻）时，政府采购好一批数量为Q的应急物资放在其应急储备库里;然后在随机时刻t，根据突发事件发生后受灾地的实际需求，向协议企业订购第二批数量为Q的应急物资。储备期内事件发生的顺序图如图1所示。

通过假设整个周期内各时刻的受灾需求率r相同，那么政府在储备期内对受灾地的物资需求信息是可获得的，总需求D

=1·r=r。然而，在第一次订货时，突发事件还未发生，物资需求率r对政府来说是不确定信息，即第一阶段的需求量D=rt存在随机性;政府在t时刻进行第二次订货时突发事件已发生，借助现代科技手段及大数据分析，此时需求率r和第二阶段的长度1-t可以确定，故可以得到第二阶段的需求量D=r1-t，那么政府的第二次订货定会满足突发事件的社会需求。为了能在整个事件发生周期内获得最大的社会效益，现在政府要决策的是第一次订货的最优订货量Q。则有：

∏=∏r，t=θMminQ+r1-t，r-C+B+KQ-Cmaxr1-r-Q-rt，0-Srt-Q+VQ-r        （1）

∏=∏r，t=1-θVQ-C+B+KQ                                  （2）

所以，政府在应对突发事件情况下进行应急物资储备实现的社会效益为：

∏=∏+∏=θMminQ+r1-t，r-C+B+KQ-Cmaxr1-r-Q-rt，0-Srt-Q+VQ-r

+1-θVQ-C+B+KQ

①当Q

∏=θM+S-V-BQ+θM-Cr+θM-Cr+C-M-Srt+VQ-C+KQ                      （4）

②当rt≤Q

∏=θM-Cr+θC-V-BQ+VQ-C+KQ                                （5）

③当Q>rt时，政府初始的应急物资储备量可满足整个契约周期的受灾地物资需求，且第二阶段期末仍有剩余。此时：

∏=θM-Vr+θBQ+VQ-C+KQ                                    （6）

因此：

∏=∏+∏=            （7）

用E∏表示政府在一个政企合作期内能实现的社会期望效益，当第一阶段物资订货量为Q时，则实现的社会期望效益为：

E∏Q=∏r，tfr，tdrdt                                       （8）

由于r～Ua，a+h， t～U0，1，服从于相互独立的均匀分布，所以两者的联合概率密度函数如下：

fr，t=                                     （9）

根据Q的范围，应考虑三种不同的情形：

情形1  0

E∏Q=∏r，tfr，tdrdt=θM+S-V-BQ+θM-Cr+θC-V-BQ+θM-Cr+θC-M-Srt+VQ-C+KQ

drdt+θM-Cr+θC-V-BQ+VQ-C+KQdrdt=θQS-V-B+M

+θQln+θa+h-a+V-C-KQ记为φQ

情形2  a

E∏Q=∏r，tfr，tdrdt=θM+S-V-BQ+θM-Cr+θC-M-Srt+M-θM+S-VQ-C+KQdrdt

+θM-Cr+θC-V-BQ+VQ-C+KQdrdt+θM-Vr+θBQ+VQ-C+KQdrdt

=θQa+h+θQ+θQln+θa+θa+h-Q

+V-C-KQ+θaQ记为φQ

情形3  Q

若Q>a+h，则表明政府在第一次订货的时候就满足了整个契约期可能面临的应急物资需求，并且在契约期结束后还有剩余，剩余的物资会产生折价损失，由于折价损失的存在，社会总效益并不能保证最优，因此第一次的最佳订购量Q一定不属于此区间，可将此情况排除。

E∏=                                       （12）

3  二次订购模型求解

3.1  第一阶段的最优应急物资储备量

由式（12），可以求出第一阶段使得突发事件下政府实现社会期望效益最大的储备量为Q。

当Q∈（0，a]时，为求出φQ的最大值，依次对其求一阶导数和二阶导数：

=θS-V-B+M+θQln+V-C-K                          （13）

=θln                                       （14）

因为C

=θS-V-B+M+θaln+V-C-K>θS-V-B+M+θaln+θV-C-K

=θM+S-C-B-K+θaln

分析：已知第一次应急物资订购单位成本为：C+B+K，第二次应急物资订购成本为C;显然C+B+K

所以θM+S-C-B-K+θaln>θM+S-C+θaln=θM+S-C1-ln，又易得

>θM+S-C-B-1-ln>0，且θ>0，M+S-C>0，所以 >θM+S-C-B-K+θaln>θM+S-C1-ln>0，故φQ在（0，a]上单调递增，φQ=φa。

再考虑当Q∈（a，a+h]时φQ的最大值，依次对其求一阶导数和二阶导数：

=θa+θQ+θQlna+h+θQlnQ+M+S-V-Bθ+V-C-K       （16）

=θ+ln                                   （17）

因為a0，又<0，<0，θ>0，显然得<0，所以φQ在（0，a+h]上仍为下凹函数。

=V-C-K-Bθ<0，所以φQ在Q=a+h处单调递减， =θQln+M+S-V-Bθ

+V-C-K>0，上文已证。

所以φQ在Q=a处单调递增，故存在Q∈（a，a+h]使得φQ取到唯一极大值。又：

φQ=a=θaln+θa+h-a+M+S-V-Bθa+V-C-Ka               （18）

φQ=θaa+h+θa+θaln+θa

+θa+h-a+θaQ+V-C-Ka

得φQ=a=φQ，所以E∏在Q=a处连续，故E∏Q存在唯一极大值点Q∈（a，a+h]。

令式（16）等于0可得政府二次订购策略的初始最优订购量Q。

3.2  第二阶段的期望订货量

求出第一阶段的最优订购量Q后，下面进行第二阶段的最优订货量Q的求解：

Q=maxr1-r-Q-rt，0=                             （20）

用EQ|Q表示第一阶段订购量为Q条件下的第二阶段订购量，则：

EQ|Q=r1-tdrdt+r-Qdrdt=a+h-Q-ln             （21）

因此，整个契约期内政府应急物资的最优期望总订购量为：

EQ=Q+EQ|Q                                          （22）

同理，易得政府只进行一次订购策略时的最优订购量Q求解公式如下（此时C=C=C）：

FQ=frdr=                            （23）

4  数值算例

4.1  案例描述与计算

假设政府与某一企业展开应急物资采购合作，根据历史资料统计出突发灾害发生概率θ=0.3;应急物资的单位需求满意度M=300;政府对单位物资的初始和二次采购成本分别为C=100， C=150;另外，物资储备的单位库存成本以及政府配送的单位运输成本分别为K=30，B=10;如果一个协议期结束该应急物资仍有剩余，则政府以每件商品V=60元进行处理;若契约期内由于突发灾害造成缺货，则每件物资的缺货损失为S=200，该物资在协议期内的需求率r～U50，70， a=50， h=70;随机订货点t～U0，1;政府期望社会收益增加值记为Δ，Δ=E∏Q-EπQ。

4.2  参数分析

分析表2和表3，可以得到如下结论：（1）二次订购策略中政府初次订购量Q、总期望订货量EQ均小于一次订购策略中订货量Q，而二次订购策略实现的社会期望效益却大于一次订购策略的期望效益，这说明政府若与企业签订合作契约并采用二次订购策略进行应急物资的储备与采购，二次订购策略比一次订购策略更好，并且二次订购策略能有效地降低政府应急物资的库存储备压力，减少资源占用。（2）Δ和S成正比，和V成反比，这表明当应急物资的残值越小或缺货损失越大时，二次订购策略更能提高政府处置应急突发事件所实现的社会效益，政府在实行二次订购策略时应当同时考虑应急物资的处理残值和缺货损失。

通过对图2分析，可以得到：当S、C不变时，C越低，社会期望效益对V的变化越敏感，说明对于初始订购成本较低的应急物资，残值对社会期望效益的影响较大。

通过对图3分析，可以得到：当V、C不变时，C越高，突发事件下社会期望效益对S变化的敏感度也随之升高。这一结果表明应急物资的初始采购成本越高，则因该物资库存不足导致的缺货损失对受灾地造成的负面影响也就越大。

通过对图4分析可以得到：当S、V不变时，协议期内灾害事件发生的概率θ越大，政府最终实现的社会效益越高。这一结果表明，在突发事件概率可预测的地区（如自然灾害事件频发地区），采用二次订购策略更能提升政府应急物资保障能力。

另外，从图2至图4均可以看出：C、C越低都会使得政府实现的社会效益提高，但是初始订购成本C对效益值的影响大于第二次订购成本C对效益值的影响。这一结果表明，政府与企业签订合作契约时，对初始订购成本的价格应该更加注重，以控制应急物资储备成本，提高政府应对突发事件的救援水平。

5  结  论

本文基于单周期二次订购报童模型，研究了突发事件下政府应急物资的储备和再订购问题，拓展了应急物资采购研究建模的新思路。构建了含有随机订购点的二次报童模型，并假设随机订购点和应急物资需求率同时服从均匀分布，得出了政府二次订购和一次订购策略下的最优订购量，对于政府应急物资的储备以及协议企业的生产具备一定的实践意义。但是，本文只考虑了政府和企业间的实物储备，进一步可以考虑实物储备与生产能力储备相结合的情况。另外，考虑政企合作契约内的定价问题，也可以作为下一步的研究方向。

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