张江江，崔志华

(太原科技大学 计算机科学与技术学院，山西 太原 030024)

1 引言

现实生活中，所面临的许多问题受到多个因素的相互影响。因而，通常将要使那些影响因素得到尽可能优化的问题视为多目标优化问题(Multi-objective optimization problems，MOPs)。为了进行更加深入研究，MOPs定义为[1]

(1)

其中x=(x1，x2，…，xD)T是在搜索空间Ω内有界的一个D维决策向量，gi(x)和hj(x)分别表示第i个不等式和第j个等式约束；M是目标数量。值得注意的是：当目标数量为2和3时，该问题定义为MOPs；当目标数量大于3时，该问题定义为高维多目标优化问题(Many-objective optimization problems，MaOPs)[2]。假设这里给定两个决策矢量x，y∈Ω，当且仅当满足以下条件，则x帕累托支配y，记作：xy.

∀i∈{1，2，…，M}：fi(x)≤fi(y)，
∃i∈{1，2，…，M}：fi(x)

(2)

若不存在x∈Ω使得xx*，则x*∈Ω被称为帕累托最优(Pareto optimal)；f(x*)被称为Pareto最优目标矢量；通常，一个问题不同目标的潜在冲突性是其成为一个多目标优化问题的前提属性，该属性某程度上就已经决定了各个目标值无法同时获得最优结果。换言之，在令某个目标达到最优的同时，其它几个目标的性能有可能会降低，因此，只能尽最大努力使各个目标值接近最优。不同于只拥有唯一最优解的单目标优化问题，多目标优化问题的最优解是一组由众多Pareto最优目标矢量组成的Pareto最优解集(Pareto-optimal set，PS)，集合中的各个元素称为Pareto最优解。PS在目标空间中的映射称为Pareto最优前沿(Pareto-optimal front，PF)。

由于在多目标优化问题中，目标之间存在固有的冲突，没有最佳的解决方案。因此如何获得Pareto最优解集，一直是众多学者研究的问题。近年来随着进化算法(evolutionary algorithm，EA)的快速发展，它已经逐步被认为是解决多目标优化问题的有效工具。……